Niveau : Première (Spécialité Maths)
(Facilement adaptable au niveau Seconde sans les variables aléatoires)
Chapitres : Probabilités, Variables aléatoires
Inédit, publié le 09/05/2020
Rares sont ceux qui, dans l’épopée de Dragon Ball, ont réussi à réunir les 7 boules de cristal pour réaliser un vœu. Convoitées de toutes parts par les personnages de ce manga devenu culte depuis sa création en 1984, elles sont désormais, avec leur couleur orange (pour les plus connues) et les étoiles qui les distinguent – de 1 à 7 étoiles -, aussi célèbres que des personnages comme Son Goku, Vegeta ou Krilin.
Dans ce problème, nous imaginons justement Son Goku réunissant toutes les boules. Avant de demander au dragon Shenron d’exaucer son voeu, il sort les boules de son sac, délicatement, une à une, au hasard. Les boules ayant toutes un aspect extérieur identique au toucher, Son Goku n’a pas le moyen de les distinguer quand il les pioche dans le sac.
Au moment où il sort les boules, Son Goku calcule au fur et à mesure la somme du nombre d’étoiles présentes sur les boules qu’il a sorties. On note Xn la variable aléatoire associée au nombre total d’étoiles présentes sur n boules sorties.
On donnera toutes les probabilités calculées sous forme fractionnaire.
1) Etablir les lois de probabilité de X1 et X7.
2) a) Dessiner l’arbre de probabilités associé au tirage de 2 boules. Ecrire à la droite de l’arbre les valeurs de X2 possibles associées à chaque chemin sur l’arbre.
a) Déduire de l’arbre la loi de probabilité de X2.
b) Calculer l’espérance de X2.
3) a) Quel est le nombre d’issues équiprobables associées au tirage de 3 boules ?
b) Quelle est la probabilité pour Son Goku d’obtenir 18 étoiles sur un tirage de 3 boules ?
c) Quelle est la probabilité pour Son Goku d’obtenir au plus 7 étoiles sur un tirage de 3 boules ?
4) On cherche à calculer la probabilité qu’à un moment au cours du tirage de Son Goku des 7 boules, la somme du nombre d’étoiles soit exactement égale à 10.
a) Pour quelles valeurs minimale et maximale de k est-il possible d’obtenir Xk = 10?
b) Calculer pour chacun des cas de k boules tirées, la probabilité d’obtenir Xk = 10.
c) Conclure.
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