Problème 027 – Harry Potter – Le terrain de Quidditch

Niveau : Terminale
Chapitres : Fonctions, Intégrale
Inédit, publié le 21/07/2019

Remarque: les fans d’Harry Potter plus jeunes pourront explorer le problème sur le symbole des Reliques de la mort (3ème) ou celui sur le quai 9 ¾ (6ème).

Le Quidditch est le sport de balle imaginaire créé dans la très fameuse saga des livres Harry Potter de l’auteure anglaise J.K. Rowlings. Pour ceux qui n‘ont jamais lu ces livres ou regardé les films qui en ont découlé, Harry Potter est un jeune magicien dont on suit, le long de sept ouvrages, l’éducation dans l’école de magie de Poudlard (en anglais : Hogwarts). Au cours de ses études, Harry Potter intègre notamment l’équipe de Quidditch de sa « maison », Gryffondor.

Dans ce sport, deux équipes de 7 joueurs sur des balais volants tentent de marquer, au moyen d’une balle en fer appelée le « cognard », des buts dans des cercles placés à 15 mètres de hauteur. En même temps, l’un des joueurs de chaque équipe essaye d’attraper une petite balle magique qui se déplace seule très vite, le « vif d’or ». Ils jouent sur un terrain de forme ovale de 152 mètres de long  sur 54 mètres de large, avec un cercle tracé au centre comme sur un terrain de football.

L’objectif de ce problème est de retrouver l’aire du terrain de Quidditch.

Partie A

On considère la fonction f définie par :

1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction f.
   
2. Démontrer que la fonction est paire. En déduire le domaine D’ sur lequel on peut restreindre l’étude de la fonction f.
   
3. Etudier les variations de f sur D’. En déduire le tableau de variations de f sur D.
   
4. En déduire le signe de la fonction f sur D.

Partie B

D’une manière générale, la courbe d’une ellipse peut-être définie de nombreuses manières (coordonnées cartésiennes, paramétriques, polaires etc…). En coordonnées cartésiennes, on utilise l’équation : 

Cette équation permet de tracer une ellipse centrée sur l’origine du repère, où a et b sont les longueurs respectives du grand demi-axe et du petit demi-axe de l’ellipse.  

De ce fait, la forme du terrain de Quidditch peut-être représentée par l’ellipse d’équation:

1. Montrer que pour y>0,  l’étude de cette ellipse revient à étudier la fonction f de la partie A, et que pour x<0 on trouve la courbe symétrique à la courbe de la fonction f par rapport à l’axe des abscisses.
   
2. Montrer pourquoi il est suffisant, pour calculer l’aire de cette ellipse, de se ramener au cas où x>0 et y>0.

L’aire située sous la courbe de f pour x>0  et y >0 est alors déterminée par l’intégrale :

On admet que cette intégrale est égale à (*):

    3.   On rappelle que : 

a. Calculer la valeur de I.
b. En déduire l’aire du terrain de Quidditch (arrondir au m² près).

(*) Ceux qui voudront le prouver pourront travailler sur un sujet hors programme nommé le changement de variable (poser x = a cos(u) )

Pour votre culture : de manière plus générale, l’aire d’une ellipse de grand demi-axe a et de petit demi-axe b est directement donnée par la formule π  x a x b. Cela nous ramène notamment, dans le cas où a = b, à la formule plus classique de l’aire d’un cercle.