Problème 373 – Le jour du passage à l’heure d’été

Niveau : Terminale (Option Maths Expertes)
Chapitres : Arithmétique, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 29/03/2023

Depuis 1976 en France, le passage à l’heure d’été, institué pour faire des économies d’énergie,  nous force à avancer nos montres d’une heure une fois par an, précisément dans la nuit du dernier dimanche du mois du mars, à 2 heures du matin (on passe ainsi à 3 heures). Cette règle fait que le jour du mois de mars où ce changement a lieu – au plus tôt le 25 du mois et au plus tard le 31 – n’est jamais le même entre une année et celle qui la suit. Dans ce problème, on se propose d’étudier la règle qui va permettre, en fonction de l’année, de déterminer le jour du mois de mars où le passage à l’heure d’été a lieu.

On appelle (u_n) la suite, qui à n années écoulées après l’année 2000 (année 2000 + n), associe le numéro du jour du mois de mars où le passage à l’heure d’hiver a lieu. Par exemple, comme le dernier dimanche du mois de mars en l’an 2000 était un 26 Mars, on a u₀ = 26. Comme indiqué ci-dessus, on a pour tout n ∈ ℕ, u_n ∈ ℕ et 25 ≤ u_n ≤ 31.

On rappelle qu’une année contient 365 jours, sauf les années bissextiles qui en contiennent 366.

1) 2001 et 2002 ne sont pas des années bissextiles. Déterminer alors les valeurs de u₁ et u₂.

2) a) Montrer que si une année n+1 n’est pas bissextile, alors u_n+1 ≡ u_n  – 1 [7].
b) Montrer que si une année n+1 est bissextile, alors u_n+1 ≡ u_n – 2 [7].

3) En déduire que (u_n) n’est pas une suite convergente.

4) Entre les années 2001 et 2099, une année est bissextile si et seulement si elle est un multiple de 4. 

a) Montrer alors que pour n ≤ 99 :  u_n ≡ u₀ – n – E(n/4) [7], où E(x) est la partie entière de x.
b) Vérifier alors que le passage à l’heure d’été a bien eu lieu, en 2023, un 26 Mars.

5) a) Deux exceptions dans le calendrier compliquent la situation à partir de 2100. On considère que si une année est un multiple de 100, elle n’est pas bissextile, sauf si elle est un multiple de 400, auquel cas elle redevient bissextile. Ainsi l’année 2100 ne sera pas bissextile, mais l’année 2400 si. 

En vous inspirant du modèle de la question 3.a), établir la formule générale, modulo 7, permettant d’accéder à la valeur de u_n pour tout n ∈ ℕ.

b) En déduire lequel des jours du mois de mars tombera le passage à l’heure d’été (en supposant que ce passage existe encore d’ici là selon le système actuel) en l’an 3000.

6) Écrire un script en langage Python d’une fonction summertime(n) afin qu’elle permette, en fonction d’une année n entrée, de donner le jour du mois de mars où le passage à l’heure d’été a lieu.

On rappelle que la fonction « partie entière d’un nombre » peut être codée par la fonction int().