Technologie

Problème 293 – Sans fil

Niveau : Troisième (ou tout au long du Cycle 4, en sélectionnant les questions)
Chapitres : Transformations géométriques
Inédit, publié le 24/04/2022

Il est bien difficile aujourd’hui de ne pas croiser le signe désignant une zone sans-fil. Souvent associé aux réseaux wifi, ce symbole qui date du début des années 2000 représente un point émetteur à partir duquel des ondes se propagent. On le retrouve autant dans les téléphones, sur les box à la maison, que dans les lieux qui proposent une zone de connexion wifi gratuite. Étudions-le ici.

On a représenté ce symbole dans sa forme la plus courante en Annexe, avec quelques points clés. Constitué d’un disque plein et de 3 bandes circulaires noires de même épaisseur mais de longueur croissante, le symbole est délimité à gauche et à droite par deux cotés qui se coupent perpendiculairement au centre du disque, nommé O. Chaque bande noire est délimitée par ces deux côtés (sur la figure, les droites (OF) et (OF’)) et deux quarts de cercle de centre O (nommés AA’, BB’… FF’). Les points A, B ….. F et A’, B’,…. F’ sont donc les sommets de ces bandes noires. On appelle M et M’ les intersections des côtés avec les bords du cercle plein. 

On admet que :
– le disque plein est de rayon 1 (remarque : sans unité de longueur).
– OA = 2,6.
– AB = BC = CD = DE = EF = 1,25.

On arrondira les résultats obtenus au dixième près.

1) Décrire et dessiner en Annexe, au stylo rouge, l’unique axe de symétrie de ce symbole, qu’on nommera (Δ).

2) a) Donner sans justifier les éléments caractéristiques de la rotation permettant de transformer les points A, B, C, D, E, F et M respectivement en points A’, B’, C’, D’, E’, F’ et M’.

b) Quelle autre transformation permet également d’obtenir exactement les mêmes points symétriques à partir de A, B, C, D, E, F et M ?

3) Compléter les phrases :
« Le point E est le symétrique du point …. par rapport au point C ».
« Le point F est le symétrique du point B par rapport au point ….. ».

4) a) Calculer la longueur de l’arc de cercle reliant A à A’.

b) Quel est le rapport de l’homothétie transformant le point A en point C ?

c) En déduire immédiatement la longueur de l’arc reliant C à C’.

5) Donner sans justifier le rapport des homothéties suivantes :
– Celle de centre O et transformant M en B.
– Celle de centre A et transformant C en E.
– Celle de centre C et transformant F en D.
– Celle de centre D et transformant M en F.

6) Kayla, une élève de 3ème, fait l’affirmation suivante :
« La bande délimitée par les points E, E’, F’ et F est l’image de la bande délimitée par les points C, C’, D’ et D par une homothétie de centre O ». Quel argument peut-on utiliser pour prouver que l’affirmation est incorrecte ?

7) Calculer l’aire de la bande délimitée par les points E, E’, F’ et F.

Rappels :
Périmètre d’un rayon de rayon r : 2πr.
Aire d’un disque de rayon r : πr2.

Annexe

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