Musique

Problème 291 – Blanches et noires

Niveau : Cinquième
Chapitres : Fractions
Fait en collaboration avec Lola Prabonne-Caillou et Erine Magne, élèves de 5ème du collège Jean Rostand de Mont-de-Marsan

Inédit, publié le 15/04/2022

Il est l’instrument de musique le plus utilisé en France, et reste pour beaucoup le plus beau à écouter. Le piano, qu’il soit joué seul, en accompagnement des solistes, dans des orchestres ou dans des groupes, séduit toujours là où il est joué. Classique, moderne, en jazz ou électronique, il peut créer à l’infini des mélodies. Rendons-lui hommage dans ce problème.

Le clavier d’un piano, dans sa version standard, comporte 88 touches – 52 blanches et 36 noires – qu’on divise en octaves identiques avec, dans chaque octave, 7 notes associés à des touches blanches (do, ré, mi, fa, sol, la, si) et 5 notes (les demi-tons) associées à des touches noires (do dièse, mi bémol, fa dièse, sol dièse et si bémol). Si on compte bien, on a exactement 7 octaves complètes (soit un total de 84 touches), auxquelles on rajoute 3 touches blanches et 1 touche noire.

1) a) Donner sous la forme d’une fraction la proportion du nombre de touches noires sur le nombre de touches blanches sur une seule octave

b) Justifier que cette proportion est la même en comptant les touches sur les 7 octaves complètes d’un piano.

2) a) Justifier que la proportion de touches noires sur le nombre de touches blanches sur un clavier de piano est égale à 9/13.

b) Mettre la fraction trouvée en 1.a) sous un dénominateur égal à 91 (on rappelle que 7 x 13 = 91).

c) Compléter l’égalité suivante : 9/13 = ……/91.

d) En déduire laquelle des fractions trouvées entre celles de la question 1.a) et celle de la question 2.a) est la plus grande.

3) Matthieu joue au piano le morceau « Someone Like You » d’Adele. Il regarde la première ligne de la partition et s’aperçoit qu’il y a 20 notes associées à des touches noires et 12 notes associées à des touches blanches.

Justifier sans calcul que la proportion « notes associées sur des touches noires / notes associées à des touches blanches » de la première ligne de cette partition est supérieure aux deux fractions trouvées aux questions 1.a) et 2.a).

4) (Réservée aux musiciens) Mathilde, elle, préfère un morceau plus classique comme « La lettre à Elise » de Beethoven. 

Ci – dessous, on a repris la partition de la première ligne du morceau (main droite).

a) Retrouver, sous la forme d’une fraction, le rapport « notes associées à des touches noires / notes associées à des touches blanches » de cette ligne.

b) Simplifier la fraction trouvée au maximum.

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