Problème 273 – La (très) grande origine de Google

Niveau : Seconde
Chapitres : Calculs avec puissances et racines carrées, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 17/02/2022

Le nom du plus utilisé des moteurs de recherche sur Internet, Google, est né d’un très grand nombre, le gogol (en anglais : googol), qui vaut 10¹⁰⁰. Celui-ci a été inventé à 9 ans par le neveu d’Edward Kasner, un mathématicien, au début du XX^ème siècle. Il est amusant de voir le contraste entre ce nom qui représente des quantités gigantesques et ce qu’il veut dire, aujourd’hui, dans le langage quotidien en français – il vaut mieux éviter de traiter quelqu’un de gogol ! On préfèrera ici, faire quelques calculs avec.

1) Donner, sous la forme d’une puissance de 10, le carré d’un gogol ainsi que sa racine carrée.

2) Dans l’Univers, on estime qu’il y a environ 10⁸⁰ particules dans l’Univers – c’est ce qu’on appelle le nombre d’Eddington. Si tous les univers contenaient le même nombre de particules que le nôtre, combien y aurait-il d’univers dans un ensemble d’univers contenant un gogol de particules ?

3) Le choix du nom Google pour le moteur de recherche voulait certainement donner une idée de toutes les pages web qu’on pourrait trouver en utilisant Google. Mais on en est loin : un compteur mis à jour quotidiennement par l’Université de Tilburg au Pays-Bas estimait qu’il y avait, en moyenne en 2022, près de 20 milliards de pages à l’index de Google⁽¹⁾.

Déterminer, avec une notation scientifique, le nombre d’index de Google, avec des pages différentes, dont on aurait besoin pour obtenir un index avec un gogol de pages.

4) On cherche à savoir combien de fois il faudrait en théorie successivement plier une feuille en 2 pour qu’on obtienne une page divisée au moins en gogol morceaux égaux (nous vous déconseillons d’essayer en pratique, cela peut se révéler très difficile vue la taille finale du morceau…). On admet que le nombre de morceaux obtenu après n pliages est égal à 2ⁿ.

a) Montrer que le plus petit nombre entier N tel que 2^N > 10¹⁰⁰ est tel que 300 < N < 400.

b) On veut trouver précisément la valeur de N. Pour cela, on écrit un programme en langage Python.