Sports

Problème 272 – Le touchdown contesté du Super Bowl LVI

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Polynômes du second degré, Nombre dérivé
Inédit, publié le 15/02/2022

Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en italique.

Le 13 Février 2022, lors de la 56ème édition du Super Bowl, le match annuel final de la saison de football américain, les Rams de Los Angeles ont vaincu les Bengals de Cincinnati dans un match très disputé. Si le résultat final du match ne s’était pas inversé dans les deux dernières minutes, on aurait longtemps débattu du long touchdown (pour ceux qui ne connaissent pas : c’est l’équivalent d’un essai au rugby) marqué à la 31ème minute du match par les Bengals. Dans cette action, le joueur Tee Higgins reçoit un ballon lancé par le quaterback Joe Burrow et s’en va marquer le touchdown… non sans s’être débarrassé de son adversaire de manière plutôt contestable. Il n’empêche : le lancer du ballon qui traverse le terrain est magnifique dans sa précision. Il mérite une petite analyse dans ce problème (on pourra regarder la vidéo de l’action ici : https://www.youtube.com/watch?v=Qrbda4qxLs4

En Annexe 1, on a représenté un schéma du terrain et de l’action, qui voit le ballon (trajectoire en pointillés) partir de Joe Burrow, situé au point A, arriver à Tee Higgins, au point B (Remarque importante : les points A et B sont au sol mais le ballon lui ne touche pas le sol). La position des joueurs et les dimensions du terrain, toutes en yards(1) sont indiquées sur la figure. La trajectoire du ballon est celle d’une parabole. L’objectif de ce problème est de déterminer précisément une fonction polynôme du second degré associée à cette parabole, puis d’en déduire l’angle, par rapport à l’horizontale, avec lequel le ballon est projeté.

Soit i un vecteur unitaire colinéaire à AB orienté de A vers B. L’unité de longueur est le yard. On admet que le ballon reste dans un plan vertical qui coupe le sol le long de (AB) (voir figure en Annexe). Dans ce plan, on appelle f la fonction polynôme du second degré représentant la hauteur en yards du ballon en fonction de son abscisse x le long de l’axe (AB). On précise que l’origine de la graduation le long de (AB) (et donc la valeur 0 de l’abscisse) devra être choisie au cours du problème.

On écrit f sous la forme f(x) = ax2 + bx + c.

On admet qu’au moment où Joe Burrow projette le ballon, celui-ci est à 2,3 yards de hauteur au-dessus du point A. Il est également réceptionné par Tee Higgins, qui saute, à 2,3 yards au-dessus du point B. On admet également que le ballon, dans sa trajectoire, atteint une hauteur maximale de 12,5 yards.

On appelle α l’angle entre la droite horizontale (AB) et la direction prise par le ballon au moment précis où elle quitte la main de Joe Burrow.

1) A l’aide de l’énoncé, calculer la longueur AB en yards (au centième près).

2) a) Fixer l’origine de l’abscisse le long de (AB) (Remarque : un choix judicieux peut permettre de simplifier la question qui suit).

b) Déterminer les valeurs de a, b et c pour retrouver l’expression de la fonction f (Remarque : ces valeurs dépendront du choix fait en question 2.a) ; on arrondira si nécessaire les valeurs trouvées au millième près).

3) En déduire la mesure de l’angle α en degrés (arrondir à l’unité).

Annexe

(1) Pour information : 1 yard = 0,9144 m. Nous déconseillons cependant toute conversion en mètres dans ce problème, puisque tout est exprimé en yards.

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