Problème 246 – Face au titan

Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Géométrie dans l’espace
Inédit, publié le 01/11/2021

Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs et angles sont écrits en gras italique.

L’Attaque des Titans, souvent abrégé « SnK » (進撃の巨人, Shingeki no Kyojin) pour les initiés, touche à sa fin. Ce manga, commencé en 2009, et adapté en anime, s’achève en 2022 avec la diffusion de la dernière saison. On suit dans cette histoire le combat de l’humanité, mené par le jeune Eren Jäger, pour reconquérir le territoire contre les Titans. D’une complexité impressionnante, avec une psychologie des personnages très travaillée, l’Attaque des Titans mérite certainement sa place reconnue dans les mangas les plus admirés de la dernière décennie.

Nous nous intéressons ici à une situation à laquelle certains combattants humains, les soldats de l’Armée de Paradis, ont dû faire face : celle de se retrouver seul face à titan dans une rue. C’est ce qui arrive au dénommé Jean Kirstein, dans l’épisode 13 de la saison 1 comme on peut le voir sur l’Image 1 ci-dessous:

Les soldats disposent pour se battre d’un équipement dit « tridimensionnel » qui leur permet de se déplacer dans toutes les directions. L’équipement est composé notamment de grappins qui se fixent aux murs, constituant ainsi des appuis flexibles pour se déplacer dans l’air (on pourra regarder la vidéo suivante : https://www.youtube.com/watch?v=JfPrwJiZViQ&t=8s). On imagine ainsi que Jean, pour se défendre dans la situation visible sur l’Image 1, envoie un grappin sur le mur d’une maison à droite dans la rue, arrive à se projeter derrière et au-dessus du titan à droite, puis revient directement pour frapper la nuque du titan – le point faible de l’ennemi⁽¹⁾.

La modélisation de cette situation est visible en Annexe. On considère un repère de l’espace (O, i, j, k) l’unité étant le mètre. Les corps de Jean et du titan sont représentés par des pavés de taille différente, la tête du titan par une sphère (les dimensions des pavés et de la sphère n’ont pas d’importance). On considère que Jean part de son centre de gravité situé au point K (0,0,1). Il fait face au titan, situé sur l’axe (O, i) à 3 mètres devant lui: on s’intéresse surtout à la position de la nuque du titan placée au point N (4,0,5) (N est derrière la sphère). Jean lance un grappin sur le mur à droite de la rue modélisé par le plan d’équation y = -3, très précisément au point A(6, -3, 7). Jean se projette en ligne droite sur le plan (P₁) d’équation x – y + z = 16 où il y touche le point R, qui est le point de (P₁) le plus proche de Ia nuque au point N. C’est précisément en N où Jean frappe le titan.

1) Justifier que A est un point de (P₁).

2) a) Donner les coordonnées d’un vecteur n normal au plan (P₁)

b) En déduire la distance, en mètres, de N au plan (P₁) (sans utiliser les coordonnées de R demandées à la question 4)) (arrondir au centième près).

3) Donner une représentation paramétrique de la droite (NR).

4) Calculer les coordonnées du point R (écrire les coordonnées sous forme fractionnaire).

5) On considère que la partie la plus extrême à gauche du corps du titan est modélisée par la droite (d) d’équation paramétrique :