Problème 245 – Le contre-la-montre du Tour de France

Niveau : Première (toutes séries)
Chapitres : Suites
Inédit, publié le 29/10/2021^(*)

Chaque année au Tour de France, l’épreuve du contre-la-montre est souvent considérée comme déterminante dans le classement final du Tour, car elle permet de séparer individuellement la performance des coureurs – contrairement aux autres étapes où les coureurs peuvent arriver groupés. Dans cette épreuve les coureurs partent à intervalles de temps réguliers et font le meilleur chronomètre possible. Nous allons dans ce problème étudier l’heure de départ des coureurs.

Lors de la 20^ème étape du Tour 2021, entre Libourne et Saint-Emilion, 142 coureurs ont pris le départ. Le premier est parti à 13H05. Jusqu’au 57^ème coureur inclus, tous les coureurs sont partis 1 minute 30 secondes après le coureur précédent ; ensuite, les coureurs, jusqu’au 142^ème et dernier partant, le maillot jaune et futur vainqueur du Tour Tadej Pogacar, sont partis 2 minutes après le coureur précédent. 

On appelle (u_n) la suite qui indique le nombre de secondes écoulées depuis le départ du premier coureur. On a donc u₁ = 0, pour le premier coureur.

1) Donner la nature et les caractéristiques de la suite (u_n) jusqu’au terme u₅₇.

2) Justifier que le 57^ème coureur est parti à 14H29.

3) a) Donner la nature et les caractéristiques de la suite (u_n) après le 57^ème terme.

b) Calculer u₁₄₂. En déduire l’heure de départ de Tadej Pogacar lors de cette étape.

4) Quel aurait dû être l’intervalle de temps, en secondes, entre chaque coureur successif si on avait voulu que tous les coureurs, du premier jusqu’au dernier, partent après le coureur précédent avec le même intervalle, avec le premier partant à 13H15 et le dernier partant à 17H15 ?

5) (plus difficile) En 2020, la 20^ème étape fut également un contre-la-montre : 146 coureurs prirent le départ. Encore une fois, l’intervalle de temps entre chaque coureur était de 1 min 30 secondes pour les premiers coureurs, et 2 minutes pour les derniers. On sait que le premier était parti à 13h, et que le dernier était parti à 17 h 14. 

Déterminer à quelle position est parti le dernier coureur parti 1 minute 30 après le précédent.

 (*) L’idée du thème a été proposée par Chantal le Petit. Ce problème est une remise au goût du jour et extension d’un exercice notamment proposé à l’épreuve Bac Pro ELEEC, Nouvelle Calédonie, session juin 2007.