Sports

Problème 210 – Les bosses du BMX

Niveau : Seconde
Chapitres : Variations et extremums
Inédit, publié le 18/05/2021

Physique et technique, le BMX, que ce soit dans sa version « Race » ou « Freestyle », est spectaculaire. Populaire chez les jeunes comme une première étape avant le motocross, le BMX Race a notamment pris ses lettres de noblesse en intégrant le programme des Jeux Olympiques en 2008. Cette course, qui se déroule sur une piste de 340 mètres à 400 mètres, est parsemée de bosses que les concurrents sautent ou enroulent. Nous allons nous intéresser justement, dans ce problème, au profil de ces bosses.

Pour représenter le profil de la hauteur de séries successives de bosses (c’est-à-dire de plusieurs bosses d’affilée), on utilise un repère orthonormé (O,I,J) où le point O représente le début de chaque série. L’abscisse x représente la distance horizontale à partir du début de la série de bosses, et l’ordonnée la hauteur par rapport à la hauteur du point O. L’unité du repère est le mètre.

On représente ainsi la hauteur d’une première série typique de bosses d’une longueur totale de 18 mètres par la courbe représentative d’une fonction f, représentée sur le graphique en Annexe 1. Les creux et sommets de la série de bosses (autrement dit les extremums locaux de f) sont représentés par les points A,B,C,D,E,F,G dont les coordonnées sont indiquées sur le graphique.

1) a) Décrire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 18].

b) Dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle [0, 18].

2) a) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 1,6.
b) Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ⩽ 1

3) Déterminer l’image de l’intervalle [9,5; 16].

4) On a dressé ci-dessous le tableau de variations d’une fonction g, dont la courbe représentative donne la hauteur d’une seconde série de bosses. On remarque notamment que la partie située entre 7,5 mètres et 9 mètres à partir du début de la série contient une zone plate.

Comparer pour cette seconde série de bosses, quand c’est possible et en justifiant clairement votre réponse:

a) La hauteur à 4 mètres à partir du début la série de bosses, par rapport à la hauteur à 10   mètres à partir du même début.

b) La hauteur à 2 mètres à partir du début la série de bosses, par rapport à la hauteur à 2 mètres avant la fin de de la série de bosses.

c) La hauteur à 0,5 mètres à partir de l’entrée de la série de bosses, par rapport à la hauteur à 0,5 mètres avant la fin de de la série de bosses.

Indication : on traduira d’abord cet énoncé à l’aide d’images de la fonction g.

5) Dessiner en rouge sur le graphique en Annexe 1, une représentation graphique possible (et réaliste !) de la courbe représentative de la fonction g.

Annexe 1

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