Problème 198 – Le jeu de la dame

Niveau : Quatrième
Chapitres : Transformations géométriques (Translations), Théorème de Pythagore
Première distribution (travail en groupe) le 09/03/2021

Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en italique gras.

Avant de devenir le grand maître capable de battre les plus grands joueurs d’échecs au monde, Beth Harmon, l’héroïne de la série « Le jeu de la dame » (Titre original : « The Queen’s Gambit »), a dû, comme toute personne qui commence à jouer, apprendre (ou deviner), ce que chaque pièce était autorisée à faire sur un échiquier. Elle n’aurait pas été la championne que la série décrit s’il n’y avait pas, à l’origine à son orphelinat, un certain Monsieur Shaibel pour l’aider. Nous allons ainsi nous mettre dans la peau de Beth dans le tout premier épisode de la série, alors qu’elle n’est encore qu’une enfant et qu’elle apprend les fondements du jeu. On précise ainsi que, comme pour Beth à ses débuts, qu’il n’est pas nécessaire de savoir jouer aux échecs pour faire ce problème, sauf pour la question 4).

On rappelle qu’un jeu d’échecs se joue sur un échiquier, qui est une grille de 8 cases sur 8 cases avec des cases noires et blanches alternées. Deux joueurs.ses, l’un.e avec les pièces blanches, l’autre avec les noires, s’affrontent avec un lot de 16 pièces chacun.e (Annexe 1). Chacune des pièces peut faire un certain type de mouvement (nous ne les décrirons pas tous). Par exemple, un pion ne peut avancer que d’une case et uniquement vers l’avant (ou deux uniquement au premier mouvement du pion) (Annexe 2a) ; un cavalier peut faire un mouvement consistant à faire un déplacement de deux cases en horizontal ou vertical (Annexe 2b), plus une case dans la direction perpendiculaire; enfin une reine peut se déplacer tout le long des lignes, colonnes ou diagonales sur lesquelles elle se situe (Annexe 2c).

Dans l’ensemble du problème, on repérera les centres des cases (donc des points) par un code constitué d’une lettre (de A à H) pour repérer les colonnes et d’un numéro (1 à 8) pour repérer les lignes. On supposera que les pièces sont toujours parfaitement centrées dans les cases.

L’unité de longueur est la longueur d’un côté d’une case carrée de l’échiquier.

Tous les mouvements mentionnés seront associés à des translations par des vecteurs reliant le centre d’une case à celui d’une autre (on peut aussi dire : translation amenant le centre d’une case à celui d’une autre).

1) a) Beth a dû d’abord apprendre le mouvement d’un pion simple. Compléter les pointillés dans les phrases suivantes :
Phrase 1 : « A son premier déplacement, tout pion blanc peut faire un mouvement selon la translation amenant le centre H4 au centre …. ou au centre… »
Phrase 2 : « Après le premier déplacement, un pion noir peut uniquement faire un mouvement selon la translation de vecteur C5… ou …H1.

b) Compléter à nouveau la phrase 1 en remplaçant H4 par n’importe quel centre de case situé sur la ligne 6.

2) Beth a dû ensuite comprendre les mouvements possibles d’un cavalier. Elle a placé un cavalier dans la case de centre B3 sur un échiquier vide (comme sur la figure Annexe 2b).

a) Dessiner sur la figure en Annexe 2b, tous les vecteurs d’origine F5 par lesquels la translation du cavalier situé dans la case de centre B3 est autorisée (rappel : un vecteur est une flèche n’ayant qu’une direction, un sens, une longueur – il n’est pas une flèche tordue!).

b) Quelle est la longueur commune de tous les vecteurs par lesquels un cavalier est autorisé à se déplacer sur un échiquier ? Justifier votre réponse.

3) Beth a évidemment compris rapidement le pouvoir de la pièce la plus importante du jeu, à savoir la reine. Pour bien comprendre ses déplacements possibles, elle a placé la reine sur la case de centre C3 sur un échiquier vide (comme sur la figure Annexe 2c).

a) Sur la figure en Annexe 2c, dessiner à main levée l’image de la reine par la translation qui amène le point E1 en H4 (le dessin pourra être fait au-dessus des flèches dessinées).

b) Déterminer mentalement ou au brouillon toutes les translations (déplacements) possibles pour une reine dans la situation en Annexe 2c, et écrire uniquement leur nombre total.

Pour les questions 3.c) et 3.d) suivantes, on répondra en indiquant le nom des vecteurs, ou on écrira « translation du point … au point … ». On pourra prendre pour origine le point C3 où se trouve la reine.

c) Parmi toutes les translations trouvées à la question 3.b), associer par deux les translations (ou simplement les couples de vecteurs) qui ont la même direction, la même longueur mais des sens opposés.

d) Donner, parmi toutes les translations trouvées à la question 3.b), les caractéristiques des translations dont la longueur est égale à √8. Justifier la réponse.

4) (Question réservée à ceux qui savent jouer aux échecs).
Observez la figure en Annexe 3, et complétez la phrase suivante.« Beth, qui joue en blanc, a réussi à battre Monsieur Shaibel pour la première fois en faisant déplacer ………………….. par la translation de vecteur A4… ».

Annexe 1