Niveau : Quatrième
Chapitres : Périmètres, Théorème de Pythagore, Proportionnalité (Vitesse, Temps, Distance)
Inédit, publié le 20/12/2020
Avec un 9ème film prévu en 2021, Fast and Furious est une franchise de films à succès qui met en valeur, depuis 20 ans, les courses de voiture illégales, généralement filmées de manière spectaculaire. Dans ce problème, nous allons nous intéresser au 3ème film de la série, « Fast and Furious : Tokyo Drift », dont l’action se déroule dans la capitale japonaise. Le héros Sean Bowell y affronte le « Drift King » Takashi. Le premier des duels entre les deux personnages, remportée largement par Takashi, se déroule dans un parking et finit notamment par la montée en drift (c’est-à-dire en glisse) d’une rampe de parking en forme d’hélice. L’objet de ce problème est d’estimer en combien de temps Takashi réussit à monter cette rampe en drift.
La forme en hélice d’une rampe de parking est fréquente. On peut en voir un exemple en Annexe 1. Dans le film, Takashi monte en drift un parking de 4 étages en partant du rez-de-chaussée. On suppose que le parking fait une hauteur totale de 16 mètres et que l’hélice de sa rampe est régulière. On rappelle qu’une hélice régulière est une forme qui s’enroule autour d’un cylindre imaginaire de hauteur h et de rayon r. On appelle spire la forme faite par une hélice pour se retrouver plus haut en ayant fait exactement un tour du cylindre : quand on déroule cette spire, on s’aperçoit que sa longueur est égale à l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit sont la hauteur hs d’une spire (ici la hauteur d’un étage de parking) et le périmètre P du cylindre (voir figure en Annexe 2*).
Les résultats seront donnés au dixième près.
1) Quelle est la hauteur hs, en mètres, d’un étage de parking ?
2) On considère que l’hélice de la rampe à considérer pour le calcul de la distance parcourue par Takashi dans sa montée est la ligne qui suit exactement le milieu de la route.
a) On sait que la voiture de Takashi, une Nissan 350Z, mesure 4,3 mètres de longueur. En prenant directement des mesures sur l’image extraite du film en Annexe 3, estimer le rayon r en mètres de l’hélice de la rampe.
b) En déduire le périmètre P en mètres du cylindre autour duquel l’hélice de la rampe s’enroule.
3) Calculer, en mètres, la longueur de la rampe sur une spire, et en déduire la longueur totale de la rampe.
4) On suppose que Takashi a monté la rampe en drift à une vitesse constante de 70 km/h.
En déduire le temps, en secondes, mis par Takashi pour monter la rampe en drift.
Annexe 1 – Exemple de rampe de parking en hélice
Annexe 2 – Hélice (*)
Annexe 3
(*) Pour davantage d’explications sur les calculs de l’hélice, on pourra se référer à l’excellente page de Gérard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Helice.htm
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