Niveau : Troisième
Chapitres : Théorème de Pythagore, Tableur, Repérage dans le plan, Proportionnalité (Vitesse/Temps/Durée), Périmètres
Inédit, publié le 03/04/2020
Note: Les fans de Koh-Lanta pourront aussi apprécier le problème sur les poteaux…
Depuis 2001, Koh-Lanta est et reste une des émissions de téléréalité et d’aventure les plus populaires de la télévision française. On en rappelle le principe : sur une île inhabitée, environ une vingtaine d’aventuriers doivent trouver les moyens de survivre pendant 40 jours. A chaque émission, un ou plusieurs aventuriers sont éliminés, le plus souvent selon un système de vote entre les participants (le fameux « conseil »), jusqu’à ce qu’il n’y ait plus que quelques participants. Les deux dernières épreuves du jeu sont presque toujours restées les mêmes depuis les débuts de l’émission : l’épreuve d’orientation, puis les poteaux. Ce problème va s’inspirer de l’épreuve d’orientation.
Dans cette épreuve, il reste le plus souvent 4 aventuriers qui doivent trouver un objet : les 3 premiers sont qualifiés pour l’épreuve des poteaux, et le dernier est éliminé. Il y a 3 objets à trouver. Pour simplifier ce problème, on supposera ici qu’il y a 4 objets à trouver, chacun d’entre eux étant cherché par 1 seul candidat : le plus lent à trouver le sien est éliminé. Il reste dans ce problème 4 aventuriers : Alan, Babette, Claudia et Diego.
On se place pour ce problème dans un repère orthogonal avec l’origine au point O, qui représente le point de départ. L’unité est le mètre. L’axe des abscisses est orienté vers l’est, l’axe des ordonnées vers le nord (voir le repère en Annexe 1).
On suit pour ce problème le principe de l’émission :
1 – Les candidats partent du point O. Chaque candidat court en ligne droite vers un point repère indiqué sur une carte (ils y courent chacun à une vitesse v1 = 8 km/h). On notera A le lieu du point repère cherché par Alan, B celui de Babette, C celui de Claudia, D celui de Diego (voir Annexe 1).
2 – Les candidats cherchent le point repère, puis une balise autour de ce repère. La balise ressemble à un bout de bois sur lequel sont indiqués un nombre de pas p (qu’on notera pA, pB, pC et pD selon la balise) et une couleur (voir Annexe 2). On modélisera cette recherche en disant que les candidats font n (qu’on notera nA, nB, nC et nD selon le candidat) tours d’un cercle de rayon 6 mètres autour du point repère. La recherche se fait à une vitesse (lente) v2 = 1 km/h.
3 – Les candidats, qui ne connaissent généralement pas le code couleur, reviennent vers le point O à une vitesse v1 où se trouve la table d’orientation. Sur celle-ci se trouve la correspondance couleur – orientation. Ils restent tous sur la table 2 minutes, le temps d’une pause. Pour simplifier, les balises de l’Annexe 2 donnent directement la correspondance couleur – orientation, mais on considèrera quand même que les candidats doivent revenir à la table pour s’informer.
4 – Ils repartent directement, toujours à une vitesse v1, vers le lieu du repère. Ils utilisent la boussole, puis font p pas à une vitesse v2 dans la direction qu’ils ont trouvée sur la table d’orientation. Ils finissent par trouver l’objet, tous au bout de 5 minutes.
On admettra qu’un pas fait 0,6 mètres. Chaque candidat ne met pas le même temps à savoir se servir de sa boussole (certains candidats sont très mauvais !).
Dans le tableau ci-dessous, on trouve les paramètres pour chaque candidat :
1) En Annexe 1, on a placé sur un repère orthogonal les points A, B, C, D. Les points HA, HB, HC et HD sont les points de l’axe des abscisses tels que OHAA, OHBB, OHCC et OHDD soient des triangles rectangles en HA, HB, HC et HD. Calculer OA, OB, OC et OD (exprimer les résultats en mètres, arrondis au millimètre près).
2) Dans un tableur, on entre les valeurs trouvées en 1) de OA, OB, OC, et OD respectivement dans les cellules A1, A2, A3, A4. On entre en cellule B1 la formule « = ENT(100*(A1-ENT(A1))) – 30 », avant de la dérouler verticalement jusqu’à la cellule B4. On rappelle que la fonction « ENT(a) » donne la partie entière du nombre a (pour un nombre positif).
Les valeurs alors affichées dans les cellules B1, B2, B3, B4 sont alors respectivement les nombres de pas pA, pB, pC et pD pour chaque aventurier.
a) Justifier que la formule « = ENT(100*(A1-ENT(A1))) – 30 » permet d’obtenir le nombre formé par les deux premiers chiffres après la virgule du nombre placé en A1, auquel on soustrait 30.
b) En déduire les nombres de pas pA, pB, pC et pD
c) Utiliser l’Annexe 2 pour trouver la couleur puis la direction associées.
3) Déterminer les coordonnées de chaque objet (arrondies à l’unité), et placer la position de chaque objet sur le repère en Annexe 1 (on notera ces positions FA, FB, Fc et FD). On pourra dans certains cas se servir de l’aide en Annexe 3.
4) Dans cette question, on donnera tous les résultats arrondis au mètre près.
a) Calculer la distance parcourue par chaque aventurier à la vitesse v1.
b) Calculer la distance parcourue par chaque aventurier à la vitesse v2.
5) a) Calculer le temps total mis par chaque aventurier pour trouver son objet. On exprimera le résultat en heures et minutes (arrondi à la minute près).
b) En déduire l’aventurier ou l’aventurière qui sera éliminé(e).
Annexe 1
Annexe 2
Annexe 3
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