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Problème 105 – Le cycle de Dark

Niveau : 1ère(Spécialité Maths)
Chapitres : Trigonométrie, Fonctions affines, Fonctions périodiques
Inédit, publié le 30/03/2020

Note: sur la version en ligne, les angles sont écrits sans chapeau, mais en italique.

Troublante, mystérieuse, torturante pour l’esprit… En trois saisons, la série allemande Dark a réussi à s’imposer de manière brillante dans l’univers aujourd’hui très encombré des séries. Dark nous amène à suivre les mystères entourant la petite ville allemande de Winden, où des évènements semblent se répéter de manière similaire tous les 33 ans. On comprend alors que les destins de 4 familles sont liés à travers les époques, les personnages pouvant voyager dans le temps. Rarement une fiction aura réussi à pousser aussi loin l’effort pour conserver une cohérence généralement difficile à maintenir dans ce type d’histoire.

Dans ce problème, nous nous intéressons au cycle de 33 ans qui est au cœur de l’histoire. Comme souvent, à « cycle » est souvent associée la notion de « cercle » : ici, nous allons nous rapprocher du cercle trigonométrique. On considère qu’à chaque début de cycle de la série est associé le point repère I du cercle trigonométrique de centre O dans un repère orthonormé (O, I, J). Faire un cycle de 33 ans revient à faire le tour du cercle trigonométrique pour retourner à son point de départ. Dans Dark, on sait que 1987 est une année de début de cycle. 

On considère M tout point du cercle trigonométrique qui représente une année.  On pose f la fonction qui à une année x associe l’angle IOM, en radians (de valeur toujours positive, c’est à dire que M sera déterminé en partant de I en tournant autour du cercle dans le sens anti-horaire).  On dira que M est le point image associé à cette année x. 1987 étant le début d’un cycle, on a alors f(1987) = 0. 

1) On admet que sur tout cycle, par exemple entre 1987 et 2020 (exclu), f est représentée par une fonction affine. Ainsi, sur l’intervalle [1987,2000[, la courbe représentative est une partie de droite. Faire un tour au bout d’un cycle se traduit par le fait que cette partie de droite, si elle était prolongée,  passerait par le point R(2020, 2π). Notons toutefois que l’on n’a pas f(2020) = 2π (*).

Justifier que l’équation de f sur l’intervalle [1987,2020[ est : f(x) =2 π/33 (x – 1987).

2) a) Tracer en Annexe 1 la fonction f sur l’intervalle [1987; 2020[

b) Sur un intervalle plus large, les éléments se « répétant » tous les 33 ans, on va donc considérer que f est une fonction périodique de période 33. On a alors, par exemple, f(1987) = f(2020) = 0.

Compléter la représentation de la fonction f de l’Annexe 1 sur les 5 cycles de Dark entre 1888 (début du 1er cycle visible dans la série) à 2053 (fin du dernier cycle), donc sur l’intervalle [1888 ; 2053[.

3) Positionner sur le cercle trigonométrique en Annexe 2 les points image A, B, C associés aux années 1921, 1965 et 2047.

4) a) Placer sur le cercle trigonométrique les points image D, E, F, G, H tels que : IOD = π/3, IOE = π/2, IOF = π, IOG = 3π/2, IOH= 5π/3.

b) Déterminer, en arrondissant à l’entier:
– l’année du cycle de 1888 à 1921 dont D est le point image.
– l’année du cycle de 1921 à 1954 dont E est le point image.
– l’année du cycle de 1954 à 1987 dont F est le point image.
– l’année du cycle de 1987 à 2020 dont G est le point image.
– l’année du cycle de 2020 à 2053 dont H est le point image.

Indication : on pourra répondre à cette question graphiquement ou algébriquement.

5) a) Rappeler les valeurs de cos 0, cos π/3, cos π/2, cos 2π/3, cos π, cos 3π/2 et cos 5π/3.

b) On pose g la fonction qui à l’année x associe le cosinus de l’angle IOM.

Tracer sur le graphique en Annexe 1 la courbe représentative de la fonction g sur l’intervalle [1987, 2020[ (Indication : se servir des points précédents, et des valeurs calculées en 5a)).

c) Justifier que la périodicité de la fonction g est aussi 33.

d) En déduire la courbe représentative de la fonction g sur l’intervalle [1888 ; 2053[.

(*) On exclut 2020 pour éviter de donner deux images de 2020 à la fonction f. En Terminale, on dira que la limite à gauche quand x tend vers 2020 est 2π.

Annexe 1

Annexe 2

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