Problème 121 – Les poteaux de Koh-Lanta

Niveau : Quatrième
Chapitres : Fractions, Agrandissement/Réduction, Aires, Arithmétique
Inédit, publié le 15/05/2020

Note: Les fans de Koh-Lanta pourront aussi apprécier le problème sur l’épreuve d’orientation…

L’épreuve des poteaux est l’épreuve finale mythique de Koh-Lanta, celle que tous les aventuriers qui prennent part à l’aventure rêvent d’atteindre. Elle permet de déterminer, parmi les trois participants, les deux finalistes qui seront soumis au vote du jury final. Le principe est simple : tenir le plus longtemps possible sur un poteau planté dans la mer. L’épreuve peut durer des heures entières, jusqu’à ce qu’au moins deux aventuriers craquent et tombent.

L’épreuve est compliquée par le fait que la surface sur laquelle les finalistes se tiennent – une petite plateforme rectangulaire – se réduit au fur et à mesure. On distingue 4 étapes⁽¹⁾ :

* Etape 1 : le rectangle de départ mesure 23 cm par 16 cm.

* Etape 2 : la partie droite du rectangle est retirée et il ne reste qu’un rectangle de 17 cm par 16 cm.

* Etape 3 : la partie supérieure du poteau est retirée, et il ne reste qu’un rectangle de 11 cm par 17 cm.

* Etape 4 : après 2 heures écoulées, la partie gauche du poteau est retirée et il ne reste qu’un carré de 11 cm de côté.

On a résumé les dimensions des rectangles à chaque étape sur la figure de l’Annexe 1.

1) Déterminer par quelle fraction l’aire de chaque rectangle est multipliée entre l’étape 1 et l’étape 2, puis entre l’étape 2 et l’étape 3, et enfin entre l’étape 3 et l’étape 4.

2) a) Déduire de la question 1) (donc sans calculer d’aires) la fraction par laquelle l’aire du rectangle à l’étape 1 est multipliée pour obtenir l’aire finale du rectangle de l’étape 4. Ecrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

b) Retrouver le résultat précédent en calculant directement l’aire du rectangle de l’étape 1 et l’aire du carré de l’étape 4, à partir des dimensions de ces deux quadrilatères.

3) a) Justifier que le rectangle de l’étape 3 n’est pas une réduction du rectangle de l’étape 1.

b) Serait-il possible, en gardant des dimensions avec des longueurs entières (c’est à dire des nombres entiers en cm), d’obtenir un rectangle qui est une réduction du rectangle de l’étape 1?

4) a) Si les dimensions du rectangle de l’étape 1 étaient de 24 cm sur 16 cm, quelles seraient les dimensions possibles d’un rectangle qui, tout en gardant des dimensions avec des longueurs entières, est une réduction du rectangle initial?

b) Pensez-vous que l’on puisse utiliser, pour l’épreuve des poteaux, des rectangles dont les dimensions sont celles trouvées à la question 4a) ? Expliquer votre réponse.

Annexe 1

Schéma de la plateforme du poteau de Koh-Lanta (dimensions en cm)

(1) Source: https://lucas-koh-lanta-infos.skyrock.com