Problème 462 – Lobo 77

Niveaux : Cinquième (ou début de Quatrième)
Chapitres : Nombres relatifs, Priorités de calculs, Arithmétique
Inédit, publié le 17/06/2024

            Dans la famille des jeux d’ambiance où les nombres ont un rôle déterminant, on trouve, au même titre que « 6 qui prend ! » ou « Skyjo », Lobo 77. Le principe du jeu est simple : chaque joueur a toujours 5 cartes en main et possède au départ 3 jetons. Il ou elle ajoute tour à tour une carte sur une pile commune, additionne le nombre indiqué sur la carte au total précédent (au départ, on part de zéro), puis pioche une nouvelle carte. Si le total obtenu tombe sur un « doublet », à savoir les valeurs 11, 22, 33, 44, 55, 66 ou si le total dépasse 76 (auquel cas on repart d’un total égal à zéro), le joueur qui a posé la carte perd un jeton. Le gagnant est celui qui ne perd pas tous ses jetons. Éviter les mauvais nombres est moins facile qu’il n’y paraît.

            Les cartes du jeu qui ont un nombre portent les valeurs possibles suivantes : -10, 0, tous les nombres de 2 à 10, 11, 22, 33, 44, 55, 66 et 76. Il existe également des cartes « x2 » qui multiplient le total par 2. On ignorera pour ce problème les cartes « changement de sens ». 

1) Amélie, Bastien, Charlie et Daphnée font une partie. Ils posent d’abord successivement les cartes suivantes :

2 / -10 / 7 / 8 / 0 / 5 / 9 / -10

Calculer le total obtenu en faisant la somme de ces 8 nombres. Détailler les étapes du calcul.

2) a) Les quatre ami(e)s posent ensuite, successivement sur le total précédent, les cartes suivantes :

8 / 3 / x2 / 4 / -10 / x2

Quel est le nouveau total obtenu après que toutes ces cartes soient posées ?

b) On appelle t le total obtenu à la question 1). Insérer en rouge sur le calcul ci-dessous un nombre minimal de parenthèses pour que le total obtenu soit celui calculé à la question 2.a).

t + 8 + 3 x 2 + 4 + -10 x 2

3) a) C’est à Amélie de jouer, sur le total obtenu à la question 2). Montrer que parmi toutes les valeurs possibles de carte, il n’existe qu’une seule valeur qui permettrait à Amélie de ne pas perdre un jeton en posant une carte.

b) Avec ses cartes en main, Amélie ne peut éviter de perdre un jeton et décide donc de dépasser 76 très nettement. En effet, en jetant une carte, le total qu’elle obtient est le plus grand nombre premier que l’on peut obtenir avec ce jeu. Quel nombre porte la carte qu’Amélie a jetée ?

4) a) Bastien regarde les règles du jeu et fait l’affirmation suivante : « je remarque que pour ne pas perdre de jeton, il faut que le total, quand il est inférieur à 77, ne tombe pas sur un multiple de 11 ».
Charlie n’est pas totalement d’accord avec cette affirmation. Pourquoi ?

b) Daphnée, elle, est dépitée: elle a en main la carte avec le nombre « 76 ». Elle dit : « je ne peux jouer cette carte sans perdre un jeton que quand le total recommence à 0 ».
A son tour, Amélie n’est pas d’accord. Pourquoi ?