Problème 367 – 100% logique: la réponse est sous vos yeux

Niveau : Troisième
Chapitres : Pourcentages, Coefficient multiplicateur, Arithmétique
Inédit, publié le 23/02/2023

Depuis septembre 2022, le jeu télévisé « 100% logique : la réponse est sous vos yeux » réunit chaque semaine 100 candidats qui répondent à des questions de logique auxquelles des Français ont été soumis auparavant par sondage. A chaque question, on indique le pourcentage de Français qui ont répondu correctement : ce pourcentage diminue au fur et à mesure que l’émission avance, ce qui signifie que les questions sont de difficulté croissante. Toute erreur commise par un candidat étant éliminatoire, le nombre de candidats diminue inexorablement tout au long de l’émission…

1) L’émission commence avec 100 candidats. On suppose que pour la première question, 2 candidats se trompent. Par quel coefficient multiplicateur faut-il multiplier le nombre initial de candidats pour obtenir le nombre de candidats restants en jeu à l’issue de cette première question?

2) A la deuxième question, sachant qu’il ne restait que 98 candidats pour répondre, 91 d’entre eux ont répondu juste à une question répondue correctement par 92% des Français. En proportion, les candidats de l’émission ont-ils été meilleurs ou moins bons que les Français en général ? 

3) Un peu plus tard dans l’émission, on sait qu’à l’issue d’une question, il n’est resté que 51 candidats encore en jeu, sachant que 15% des candidats ayant répondu à la question se sont trompés. Combien de candidats ont fourni une réponse, juste ou non, à la question posée ?

4) La réponse est sous vos yeux : alors qu’il restait un certain nombre de candidats encore en jeu, on sait qu’à une première question, 7 candidats se sont trompés ; puis, à la question suivante, parmi les candidats encore en jeu, 75% d’entre eux ont répondu correctement. Quel est le pourcentage de candidats ayant répondu aux deux questions encore en jeu après ces deux questions ?

5) Dans une des questions vers la fin de l’émission, où il ne restait que 20 candidats encore en jeu, on pose une question où seuls 20% des Français ont répondu correctement. Pourtant, tous les candidats répondent correctement ! Un téléspectateur qui observe la scène affirme : « Soit le sondage est faux, ou soit l’émission est truquée ! ». A-t-il raison ? Justifier le raisonnement.

6) (Difficile) Montrer que, quand le nombre de candidats répondant à une question est strictement inférieur à 100, il n’est pas possible, quel que soit le nombre de candidats répondant à cette question, qu’exactement 83% des candidats répondent correctement à cette question.