Problème 317 – Level 8

Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Combinatoire, Dénombrement
Inédit, publié le 22/07/2022

Remarque : ce problème est difficile. Le jeu parle de « défis » : le problème a ainsi la volonté de justement mettre au défi ceux qui ont (ou prétendent avoir) une bonne compréhension des techniques de dénombrement.

Jeu basé sur la chance et la stratégie, « Level 8 » est un jeu à défis. A partir de 10 cartes, il faut réussir à passer les 8 niveaux en réalisant à chaque fois la combinaison imposée (voir sur l’Image 1 ci-dessous les 8 défis à réaliser tout au long du jeu). La difficulté du défi imposé augmente au fur et à mesure que les niveaux sont franchis. On s’intéresse dans ce jeu aux nombres de combinaisons de cartes qui permettent de réaliser les défis existants.

Le jeu contient 99 cartes réparties entre :

* 90 cartes numérotées de 1 à 15, avec 6 cartes portant le même numéro mais avec une couleur différente (ou alternativement, on peut dire qu’il y a 6 couleurs de cartes, avec des cartes numérotées de 1 à 15 dans chaque couleur).

* 6 jokers, qui remplacent n’importe laquelle des cartes numérotées.

* 3 cartes “Passe”, qui font que le joueur suivant ne peut pas jouer.

Attention : on considèrera, même si certaines cartes ont une face strictement identiques (par exemple les jokers et les cartes « Passe ») que toutes les cartes sont différentes (comme si elles étaient numérotées de 1 à 99).

Remarque : dans tout le problème, on ne s’étonnera pas de trouver des nombres très (très) grands…

1) Combien de jeux de 10 cartes sont possibles ? Exprimer un ordre de grandeur du résultat sous la forme d’une puissance de 10. 

2) Combien de jeux de 10 cartes contiennent les 6 jokers ?

Dans les quatre questions suivantes, la question posée est de déterminer, dans chacun des cas, le nombre de jeux à 10 cartes qui contiennent la combinaison imposée par un défi particulier, choisi parmi ceux visibles sur l’Image 1, sachant qu’on impose certaines conditions supplémentaires.

3) Combinaison à réaliser : Défi n°2
Conditions supplémentaires: 
– aucun joker dans le jeu.
– les deux cartes hors combinaison ne forment pas une paire et sont avec des numéros différents de ceux présents dans la combinaison.

4) Combinaison à réaliser : Défi n°7
Conditions supplémentaires: 
– aucun joker dans le jeu.
– les deux cartes hors combinaison ne sont pas de la couleur constituée et ne portent pas le numéro du brelan (elles peuvent ou non former une paire).

5) Combinaison à réaliser : Défi n°6
Conditions supplémentaires : 
– chacun des brelans ainsi que la paire portent des numéros différents entre eux.
– un joker exactement est utilisé pour compléter un des deux brelans ; c’est le seul joker du jeu.
– les deux cartes hors combinaison ne forment pas une paire et sont avec un numéro différent de ceux présents dans la combinaison.

6) Combinaison à réaliser : Défi n°5 (rappel : une suite de 7 cartes signifie une suite formée de 7 numéros consécutifs)
Conditions supplémentaires : 
– le jeu contient au maximum 2 jokers. S’il il y en a, il est ou ils sont nécessaire(s) pour compléter la suite de 7 numéros.
– les trois cartes hors combinaison portent des numéros différents de ceux présents dans la suite (sans restriction, elles peuvent ou non former une paire ou un brelan).