Musique

Problème 279 – Le carré géant des super-fans de Stromae

Niveau : Seconde
Chapitres : Racines carrées
Inédit, publié le 06/03/2022

Stromae, le chanteur belge, a fait un retour tonitruant avec son dernier album, « Multitude », sorti le 4 mars 2022. Après l’immense succès de son second album, « Racine carrée », vendu à 2,5 millions d’exemplaires en 2013, Stromae serait bien capable d’attirer encore davantage d’admirateurs, tant sa musique est riche d’influences du monde entier et tant les paroles de chansons parviennent à toucher beaucoup de monde. Et comment ne pas être intrigué (et inspiré…) quand on voit les noms de ces albums au parfum très mathématique ! 

Revenons alors sur les 2,5 millions de ventes de l’album « Racine carrée ». On va supposer qu’un acheteur sur cent de cet album, soit 25 000 « super-fans », se réunissent pour célébrer leur idole dans un stade. Pour se regrouper, on va imaginer qu’ils vont essayer de former un carré géant : pour cela, ils se rangent tous en lignes et en colonnes, de manière parfaitement alignée, telle une armée, chaque super-fan étant toujours à 0,50 mètre d’un autre super-fan (voir principe en Annexe). Il est impératif qu’il n’y ait aucun trou dans les alignements, et qu’il n’y ait aucun super-fan laissé hors du carré formé. Par ailleurs, on ne peut pas mettre plusieurs super-fans sur une position.

On admettra, pour utilisation directe dans ce problème, le théorème suivant :
Les entiers n≥0 dont la racine carrée est un nombre rationnel sont les entiers qui sont les carrés d’un nombre entier.

1) a) Simplifier l’écriture de la racine carrée de 25 000 sous la forme a√b, où a et b sont des entiers naturels et a étant la valeur maximale possible. 

b) Montrer que √25 000 n’est pas un nombre entier.

c) En déduire que les 25 000 super-fans ne peuvent pas, s’ils sont tous ensemble, se regrouper en lignes et en colonnes pour former un carré géant.

2) a) Combien faudrait-il, au minimum, de super-fans supplémentaires présents pour qu’ils soient en mesure de former ce carré géant ?

b) Au contraire, combien, au minimum, faudrait-il de super-fans en moins pour que le carré géant soit aussi réalisable ?

3) On suppose que le nombre de super-fans de Stromae va augmenter grâce à son dernier album. Ce nombre peut même être une multitude de fois supérieure… Appelons donc m le facteur entier par lequel le nombre de super-fans va être multiplié par rapport à ceux de la question 1).

Quelle est la valeur minimale de m qui permettrait aux super-fans de former tous ensemble un carré géant ? Justifier la réponse.

4) On appelle N un nombre de super-fans tel que qu’il soit possible de former un carré géant.

Exprimer en fonction de N une expression exacte de la longueur, en mètres, de la diagonale du carré géant, et montrer que cette longueur est irrationnelle.

Annexe
Principe du carré géant des super-fans de Stromae

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