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Problème 142 – Un maître des douze coups de midi

Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Loi binomiale, Variables aléatoires
Inédit, publié le 01/08/2020

Depuis plus de 10 ans maintenant, « Les Douze Coups de Midi » est un jeu télévisé qui s’est installé dans notre quotidien à l’heure du déjeuner. Jean-Luc Reichmann n’a jamais manqué au poste pour poser des questions aux candidats et leur faire gagner des sommes pouvant aller jusqu’à 30 000 euros par jour, ainsi que des lots supplémentaires s’ils découvrent ce qui se cache derrière « l’Etoile Mystérieuse ». Un même candidat revient dans l’émission tant qu’il ne perd pas : il est alors un « maître de midi ». Le meilleur d’entre eux, Eric, a ainsi remporté, en 199 émissions, 622 000 € ainsi que les lots derrière 7 étoiles mystérieuses.

Dans ce problème, nous allons modéliser les gains d’un maître de midi fictif. A la fin de chaque émission qui dure généralement 50 minutes, un maître de midi, après avoir éliminé ses adversaires, est en mesure de remporter au maximum, selon ce qui s’est passé dans le reste de l’émission, 10 000 €, 20 000 € ou 30 000 €. Pour remporter ces sommes, dans une épreuve finale appelée le « Coup de Maître », 5 questions sont posées : le candidat remporte la somme maximum s’il répond correctement aux 5 questions, 10 fois moins s’il fait une erreur, 100 fois moins s’il fait 2 erreurs et rien avec plus d’erreurs. 

On suppose que :
– il y a la même probabilité d’obtenir chacune des 3 sommes maxima possibles dans une émission.
– le maître de midi, en moyenne, répond correctement à chaque question posée durant le « Coup de Maître » avec une probabilité p = 2/3. Les questions sont indépendantes. Même si les questions sont différentes, on considère qu’il y a répétition identique du fait qu’une question soit posée.

1) a) Justifier la loi de probabilité suivie par X.
b) Quel est le nombre moyen de bonnes réponses données par ce candidat dans un « Coup de Maître » ?

2) Etablir la loi de probabilité de X, puis en déduire celle de Y.

3) Calculer la moyenne des gains journaliers de ce candidat (hors lots supplémentaires).

4) Déterminer si ce candidat, s’il devait faire autant de participations que le champion Eric, gagnerait plus ou moins d’argent qu’Eric (hors lots supplémentaires).

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