Problème 448 – La toile d’araignée préférée des enfants

Niveau : Troisième (accessible en Quatrième)
Chapitres : Volumes (Pyramides), Théorème de Thalès, Équations, Calcul Littéral
Inédit, publié le 25/04/2024

          Dans les parc de jeux, la toile d’araignée en forme de pyramide est maintenant devenu un grand classique. De plusieurs mètres de hauteur, couvert de mailles en cordes, la pyramide est toujours assaillie d’enfants qui adorent la grimper, si possible jusqu’au sommet !

          Dans ce problème, on s’intéresse à un type particulier de toile d’araignée, sachant qu’il en existe de nombreux. On va essayer d’en approcher le volume, en ayant bien conscience que la forme n’est pas totalement classique. Dans le modèle simplifié considéré, on va assimiler la toile à une pyramide surmontant une autre pyramide tronquée, à laquelle on aurait retiré des parties inférieures (NB : relisez bien cette phrase !). En utilisant les notations visibles en Annexe:

* ABCDEFO est la pyramide supérieure (en bleu). Sa base est l’hexagone régulier ABCDEF de centre Q parallèle au sol, et son sommet est O. Le rayon de l’hexagone (c’est-à-dire la distance de son centre à un sommet) est égal à 1,5 m et la hauteur [QO] de cette pyramide a pour longueur 2,55 m.  

* GHIJKLP est une autre pyramide, en rouge, qui a été tronquée par ABCDEF. Sa base est l’hexagone régulier GHIJKL (de centre R) parallèle au sol, de rayon 2,1 m, et son sommet est P (la hauteur est donc [PR]). L’hexagone ABCDEF tronque cette pyramide à 85 cm au-dessus de GHIJKL.

* Sous la pyramide tronquée, on doit retirer 6 solides, tous de même volume, assimilables à des tétraèdres, par exemple le tétraèdre RGHS. En considérant pour ce dernier une base RGH, la hauteur issue de S vaut 20 cm.  

Dans tout le problème, on utilisera le mètre pour unité (les aires seront exprimées en m², les volumes en m³). On arrondira les résultats au dixième près, sauf à la question 5.b).

1) On admet la formule donnant l’aire d’un hexagone régulier en fonction de son rayon R :

Calculer l’aire des hexagones ABCDEF et GHIJKL.

2) On admet que A appartient à [PG] et que les points O, P, Q, R sont alignés de haut en bas le long de la barre centrale verticale de la structure.

a) Tracer un schéma à main levée représentant le triangle RPG, en y incluant les points A et Q, avec les distances connues et les notations utiles.

b) En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle RPG, calculer la distance PQ et en déduire PR.

3) Calculer le volume des pyramides ABCDEFO et GHIJKLP.

4) Calculer le volume de la pyramide ABCDEFP, et en déduire celui de la pyramide tronquée. 

5) a) Montrer que l’aire du triangle RGH est égale à 1,9 m².

b) En déduire le volume du tétraèdre RGHS, qu’on arrondira au centième près.

6) Conclure en calculant le volume de la toile d’araignée dans le modèle proposé.  

Annexe

Source image toile: https://prozon.com/482-jeux-a-grimper/4385-araignee-jeux-a-grimper-exterieur.html#/246-couleur-bleu/4261-hauteur-3_5_m