Problème 536 – Des dim sum plein le coeur

Niveaux : Cinquième
Chapitres : Arithmétique
Inédit, publié le 01/06/2025

            Parmi les plats les plus connus de la cuisine cantonnaise ou de Hong Kong, les « dim sum » sont peut-être ceux qui remportent le plus de suffrages. Ces petites bouchées souvent servies dans des paniers en bambou qui permettent de les cuire à la vapeur portent bien leurs noms : elles « touchent le cœur » de ceux qui les savourent, et ce à toute heure de la journée. Dans ce problème, on ne va pas s’interroger sur la manière de les manger (on vous laisse le plaisir réel de le faire) mais sur la manière de les partager.

            Il y a de très nombreuses variétés de dim sum, portant des noms différents. En France, les deux types les plus courants sont appelés les « ha kao » et les « siu mai ». Dans un panier, on peut en trouver quelques portions individuelles : elles ne se coupent généralement pas, chaque portion se dégustant en entier. Regardons alors ce qui se passe dans un repas fait de dim sum…

1) Six amis vont dans un restaurant asiatique et commandent des paniers de ha kao contenant 4 portions individuelles par panier. Ils commandent juste le nombre minimum de paniers nécessaires pour qu’ils puissent diviser à parts égales tout le contenu des paniers.

a) Combien les six amis ont-ils commandé de paniers de ha kao ?
b) Combien de portions de ha kao chaque ami a-t-il alors ?

2) Les amis commandent alors aussi également des siu mai, où il y a 5 portions individuelles par panier. 
Répéter alors les questions 1.a) et 1.b) pour des siu mai.

3) A la dernière minute, alors qu’ils n’ont pas commencé à manger, un septième ami finit par se joindre au repas. 

Montrer que s’ils ne différencient plus les ha kao et les siu mai (ce sont tous des dim sum, après tout…), l’arrivée du nouvel ami ne pose pas de problèmes pour créer des parts égales.

4) Si un huitième ami venait se greffer au repas, combien de paniers au minimum de ha kao et/ou de siu mai le groupe d’amis devrait-il commander en plus pour qu’ils puissent tous se partager, de manière équitable (sans les différencier) les dim sum ? On donnera le nombre de paniers de chaque sorte à commander en plus. 

5) Quel est, de manière générale, le plus petit nombre de portions de dim sum qu’il faudrait commander pour que les parts soient égales, qu’il y ait 6, 7 ou 8 amis ?