Problème 528 – Le pic de Pinterest

Niveaux : 1^ère (Tronc commun)
Chapitres : Variations instantanées, Nombre dérivé
Première distribution (en devoir en groupes) le 28/03/2025

Note : le problème a été utilisé en classe en sujet de secours du problème 520 – La vitesse de croissance de WhatsApp: la structure et le contenu des deux problèmes sont donc volontairement très similaires.

Imaginez que vous ayez un tableau sur lequel vous épinglez des images autour d’un thème. Imaginez que ce tableau soit numérique, et que chaque image cache un lien vous menant vers sa source. Bienvenue, vous êtes chez Pinterest (contraction de « pin » et « interest », en anglais). Réseau social à part, permettant aux « pinners » de chercher et d’échanger des idées de manière visuelle, la plateforme, créée en 2010, a séduit des millions d’utilisateurs pour sa capacité à proposer des idées. Dans ce problème, on va observer sa croissance, et plus particulièrement une période où elle fut particulièrement importante.

On se propose ainsi d’étudier la courbe, visible en Annexe, du nombre d’utilisateurs de Pinterest dans le monde depuis début 2016 jusqu’à fin 2024. Elle est la courbe représentative d’une fonction f. En abscisse, l’unité t représente le nombre de trimestres écoulés depuis le 1^er trimestre de l’année 2016 (on écrira donc qu’à t = 0, on est au « Q1 2016 »). En ordonnée, l’unité est le nombre d’utilisateurs en millions. On pourrait donc écrire par exemple qu’à t = 10, donc au Q3 2018, l’application comptait environ 250 millions d’utilisateurs.

1) a) Combien Pinterest comptait-il d’utilisateurs à t = 25 (au Q2 2022) ?

b) A partir de quelle valeur de t Pinterest a-t-il dépassé les 500 millions d’utilisateurs ? A quel trimestre cette valeur correspond-t-elle ?

2) a) Tracer en rouge sur le graphique en Annexe la droite sécante à la courbe reliant le point de la courbe d’abscisse t = 0 et celui d’abscisse t = 35.

b) A quoi correspond le coefficient directeur de cette sécante ? En quelle unité s’exprime-t-il ?

c) Déterminer graphiquement la valeur de ce coefficient directeur.

3) Entre 2020 et 2022, on peut voir que le nombre d’utilisateurs a connu un véritable pic, que l’on peut naturellement attribuer à la crise du COVID, qui a certainement conduit les gens à davantage se servir des outils numériques, et donc à utiliser des sites comme Pinterest.

a) Que peut-on dire de la valeur de f’ à t = 20?

b) Que peut-on alors dire à propos de la tangente à la courbe au point d’abscisse t = 20 ? En donner l’équation.

4) Le point A de la courbe d’abscisse t₀ = 16,5 indique le moment où la vitesse de croissance du nombre d’utilisateurs a semblé la plus élevée entre 2016 et 2024.

a) A l’aide du graphique, déterminer la valeur de f(t₀) et f'(t₀).

b) En déduire l’équation de la tangente à la courbe au point A.

5) a) Que peut-on dire du signe de f’ entre t = 20 et t = 23? Justifier la réponse.

b) Y-a-t-il eu d’autres moments entre 2016 et 2024 où f’ a été du même signe que celui trouvé en 5.a) ? Si oui, indiquer le ou les trimestres où cela a semblé se produire.

Annexe