Problème 496 – Le tour de pendule géant

Niveaux : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Trigonométrie
Première distribution en Devoir Maison le 03/11/2024

Note: sur la version en ligne du problème, les angles sont écrits en gras italique.

Qu’il s’appelle Booster, Adrenalyn, Speed ou encore Pulsion, le pendule géant conçu par le groupe Fabbri fait partie des attractions incontournables à fortes sensations. Il représente toujours, au sein des fêtes foraines, un défi pour les plus téméraires. Car telle est la question : êtes-vous assez courageux pour vous asseoir au bout d’un bras long de 37 m à 60 m et qui tourne jusqu’à 13 tours par minute⁽¹⁾? Ici, sans forcer quiconque à franchir le pas (car au final c’est chacun selon son ressenti), nous allons tranquillement, sans risques, défier ce manège, mais sous un angle plus mathématique.

En l’assimilant à un pendule, nous imaginons que le bras principal de ce manège va être représenté par un segment [AB] où A et B sont les extrémités où sont attachées les nacelles (là où s’assoient les personnes) et O le centre du manège autour duquel tournent A et B. Les nacelles tracent donc un cercle autour de O, et on prend le cas où AO = BO = 25 m (voir figure en Annexe).

On appelle I le point bas du manège (là où les personnes montent à bord des nacelles, c’est-à-dire le point de départ), situé à 3 mètres de hauteur par rapport au sol, et on appelle θ = IOA(on a donc θ = 0 radians au départ), sachant que la mesure de cet angle inclura le nombre de tours complets faits par la nacelle (elle pourra donc dépasser 2π). On admet que le manège tourne dans le sens contraire à celui des aiguilles du montre ; ainsi, θ sera toujours positif.

Dans l’ensemble du problème, on justifiera soigneusement les réponses.

1) a) Placer précisément sur le schéma en Annexe les points A₁, A₂, A₃et A₄qui correspondent respectivement aux angles : θ₁ = 3π/2 rad ; θ₂ = 19π/3rad ; θ₃ = 37π/4 rad ; θ₄ = 47π/6 rad.

b) Indiquer dans chacun des cas le nombre de fois où la nacelle est revenue au point de départ avant d’atteindre ce point.

c) Convertir les 4 angles θ₁, θ₂, θ₃ et θ₄ en degrés.

2) Déterminer la mesure en radians de l’angle total θ₅ = IOA₅ où A₅et A₂sont à la même position, mais où l’angle θ₅ a été formé après que la nacelle soit retournée 5 fois au point de départ.

3) Donner 2 valeurs possibles de mesures positives en radians de l’angle IOB quand la nacelle A est en A₂ (remarque : ces mesures peuvent être indépendantes du nombre de tours effectués).

4) Calculer, en mètres, la distance totale parcourue par la nacelle A entre le départ et le moment où elle atteint la position A₂. Arrondir le résultat au dixième près.

5) a) A quelle hauteur par rapport au sol, en mètres, se situe la nacelle quand elle est dans la position A₃ ? Même question pour la position A₄. Arrondir les résultats au dixième près.

b) Inversement, quand la nacelle A est à une hauteur de 35 mètres par rapport au sol, à quelle(s) mesure(s) possible(s) en radians de l’angle θ, comprise(s) dans l’intervalle [0 ; 2π], correspond la position de A ? Arrondir la ou les valeur(s) obtenue(s) au centième près.

Annexe