Niveaux : Troisième
Chapitres : Théorème de Pythagore, Trigonométrie, Triangles semblables
Inédit, publié le 16/08/2024
Note: sur la version en ligne du problème, les angles sont écrits en gras italique.
Parmi les activités très répandues que l’on peut faire avec des dominos, la chute en série est certainement celle qui a plus d’amateurs. Elle est à ce point répandue qu’il existe à travers le monde des tentatives pour faire la série la plus longue : le dernier record datant de 2009 en a fait tomber près de 4,5 millions!
Contrairement à ce que l’on pourrait penser, il est extrêmement difficile de faire tomber les dominos de manière régulière. Vous pouvez essayer vous-même en alignant 3 dominos debout et en les faisant tomber, puis en recommençant : l’emplacement final des dominos sera très rarement le même.
Théo, un collégien, se prend au jeu et aligne sur une table horizontale trois dominos – bien évidemment en forme de pavé droit – hauts de 3,6 cm de hauteur et épais de 1 cm, en les espaçant régulièrement de 2 cm comme montré sur la Figure 1 en Annexe. Il fait basculer autour du coin A le domino de gauche, qui touche alors au point B le domino du milieu qui lui-même bascule sur le domino de droite. On appelle C le point sur la table à la verticale de B.
Dans ce problème, les longueurs seront calculées en cm et les angles en degrés, avec des arrondis au dixième près.
1) À quelle hauteur sur la table se situe le point B? Justifier la réponse.
2) Quel est la mesure de l’angle BAC?
Quand tous les dominos sont tombés, Theo voit que le domino du milieu n’est pas totalement tombé et est resté chevauché en débordant de 0,4 cm (longueur IG) sur le coin du domino de droite, comme on peut le voir sur la Figure 2 en Annexe.
3) a) Calculer la mesure de l’angle FIG.
b) En déduire en justifiant, la mesure de l’angle IHL que le domino du milieu fait avec la table.
4) À quelle distance le coin H du domino du milieu se situe-t-il du coin L du domino de droite? Justifier la réponse.
5) On appelle M le point sur la table à la verticale du point E.
a) Prouver sans calculer de longueurs que les triangles EMH et IFG sont semblables.
b) Ces deux triangles sont-ils égaux ? Justifier la réponse.
Annexe
Tous les dominos ont une hauteur de 3,6 cm et une épaisseur de 1 cm
Figure 1
Figure 2
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