Niveaux : Troisième
Chapitres : Volumes (Boule), Fonctions
Inédit, publié le 28/06/2024
Les Ferrero Rocher, dans leur emballage doré, envahissent les étals des supermarchés principalement à l’approche des fêtes de fin d’année. Pour des raisons de qualité, on ne les trouve d’ailleurs pas l’été. Qu’on les aime ou pas (c’est selon les goûts !), ils sont intéressants d’un point de vue mathématique car composés de différentes boules imbriquées telles des poupées russes. Nous allons nous y intéresser de plus près dans ce problème.
Les différentes couches de la friandise sont les suivantes :
– une noisette du Piémont (en Italie) est englobée dans une petite boule de chocolat d’un rayon de 1 cm.
– cette petite boule de chocolat est englobée dans une sphère de biscuit dont le rayon extérieur est de 1,2 cm, sachant que l’épaisseur de biscuit à la surface est de 0,2 cm.
– la sphère de biscuit est alors elle-même recouverte d’un mélange de chocolat et de noisettes pour former le Ferrero Rocher, qu’on assimilera, malgré sa surface rugueuse, à une boule dont le volume total est environ égal à 14,1 cm3.
Les différentes boules ainsi que les différentes couches sont expliquées sur les images disponibles en Annexe 1.
Dans tout le problème, les volumes seront calculés en cm3, et on arrondira les résultats obtenus au dixième près.
1) Calculer le volume de la petite boule de chocolat qui englobe la noisette.
2) a) Calculer le volume contenu dans la sphère de biscuit (avec son rayon extérieur).
b) En déduire le volume de biscuit contenu dans le Ferrero Rocher, ainsi que le volume du mélange de chocolat et de noisettes qui recouvre la friandise.
3) On considère la fonction f qui au rayon r en cm d’une boule associe son volume en cm3. La courbe Cf associée à f est tracée sur le graphique visible en Annexe 2.
Déterminer graphiquement le rayon de la boule qui modélise le Ferrero Rocher.
4) On imagine qu’à l’avenir, la société qui produit le Ferrero Rocher veut modifier la structure de la friandise, de telle manière à ce que, sans modifier la taille et l’intérieur de la sphère de biscuit, le volume du mélange de chocolat et de noisettes qui recouvre la surface soit égal à celui du volume de biscuit.
Quel serait alors le rayon de ce Ferrero Rocher modifié ?
Indication : on pourra écrire une équation qu’on pourra résoudre avec le graphique de l’Annexe 2.
Annexe 1
Annexe 2
Note: Remerciements à Ibtihal El Qababi Mir, élève de 3ème au collège Victor Duruy de Mont-de-Marsan, qui a fourni les Ferrero Rocher nécessaires à la réalisation de ce problème !
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