Niveaux : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 13/01/2023
Quand il a lancé sa chanson « Never gonna give you up » en 1987, Rick Astley n’aurait certainement jamais imaginé être à l’origine d’un des mèmes les plus connus de la planète. Depuis 2007, le rickroll, ce gag qui consiste à tromper quelqu’un en l’envoyant sur la vidéo de la chanson, ne s’est jamais arrêté au point de permettre à « Never gonna give you up » de dépasser le milliard de vues sur Youtube. Incroyable !
Il est plutôt facile d’être « rickrollé » une première fois quand on ne connaît pas le principe. Il devient a priori plus difficile de l’être quand on s’est fait prendre une fois. Mais les jours passant, on devient forcément moins vigilant ! Modélisons alors la situation : on suppose que Fabio vient de se faire rickrollé et qu’il n’a donc, en ce jour n = 0, plus qu’une probabilité égale à 0,1 de se faire rickrollé à nouveau. Mais cette probabilité ré-augmente petit à petit…
Deux modèles sont alors proposés pour caractériser la situation :
Modèle 1 : Fabio a une probabilité d’être rickrollé qui augmente chaque jour de 0,002.
Dans ce modèle, on pose p0 = 0,1 cette probabilité le jour où Fabio s’est fait rickrollé et pn sa probabilité d’être rickrollé au bout de n jours.
Modèle 2 : Fabio a une probabilité d’être rickrollé qui augmente chaque jour de 1%.
Dans ce modèle, on pose p’0 = 0,1 cette probabilité le jour où Fabio s’est fait rickrollé et p’n sa probabilité d’être rickrollé au bout de n jours.
On suppose, dans les deux cas, que Fabio ne peut pas être rickrollé tant que sa probabilité d’être rickrollé est inférieure à 0,5.
1) Calculer p1, p2, p3 et p’1, p’2, p’3. Arrondir si nécessaire au millième près.
2) a) Donner la nature et les caractéristiques des suites (pn) et (p’n).
b) En déduire pn et p’n en fonction de n.
3) Au bout de combien de jours, dans le modèle 1, la probabilité que Fabio se fasse rickrollé dépasse-t-elle 0,5 ? Justifier la réponse.
4) a) Compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il permette de déterminer, dans le modèle 2, au bout de combien de jours la probabilité que Fabio se fasse rickrollé dépasse 0,5.
b) A l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur, exécuter le programme complété afin d’obtenir ce nombre de jours.
5) a) Modifier le programme ci-dessus afin qu’il puisse donner la plus petite valeur n1 de n telle que p’n > pn.
b) Donner la valeur de n1 en exécutant le programme modifié.
Note : ceux qui sont à la peine sur ce problème pourront directement trouver la solution en cliquant ici.
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