Niveau : Troisième/Seconde
Chapitres : Fonctions, Équations, Algorithmique
Inédit, publié le 14/10/2023
Plusieurs tranches de pain de mie de forme carrées superposées avec la garniture désirée, un coup de couteau et hop… voici prêt votre sandwich en forme de triangle pour votre déjeuner. Si généralement, on se contente de couper le sandwich en deux, que se passe-t-il si l’on veut un sandwich triangulaire qui a une taille différente mais bien précise ?
Modélisons le problème : on associe le sandwich initial à un carré ABCD de côté 12 cm. On ignorera ici la hauteur du sandwich et on raisonnera uniquement sur les aires. On place un point M sur le segment [AB] et on trace la droite parallèle à la diagonale (BD) passant par M. Celle-ci coupe le côté [AD] en N. On pose AM = x, cette longueur étant exprimée en cm (voir figure en Annexe).
1) On suppose pour cette question que M est le milieu de [AB].
Le triangle AMN a-t-il une aire égale au quart de l’aire du sandwich ABCD ? Si non, quelle est la proportion?
2) a) Proposer un script (Scratch ou une fonction Python) qui permet, en fonction d’une valeur entrée par l’utilisateur, d’afficher la proportion du sandwich ABCD occupée par le triangle AMN.
b) On veut trouver la valeur qui permet d’obtenir une proportion égale à 1/3. On appelle xA cette valeur.
En testant le script de la question 2.a), donner une valeur approchée de xA au centième près.
3) Poser et résoudre l’équation qui permet de trouver la valeur exacte de xA (pour les élèves de niveau 2nde : exprimer le résultat sous la forme a√b, avec a et b entiers et b le nombre entier le plus petit possible).
4) On place le point M au lieu trouvé à la question 3). On coupe à nouveau le morceau représenté par le quadrilatère MBDN en deux par une droite parallèle à [MN]. Cette droite coupe respectivement les côtés [MB] et [ND] en O et P.
Déterminer quelle doit être la distance MO afin que les aires des deux tranches ainsi obtenues (représentées par les quadrilatères MOPN et OBDP) soient égales.
On pourra, si nécessaire, utiliser le script tapé en 2.a) pour trouver une valeur approchée.
Annexe
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