Niveau : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Fonctions (Continuité, Limites), Convexité
Inédit, publié le 05/03/2023
Note : dans la version en ligne, les vecteurs sont écrits en gras italique.
En novembre 2011, la baie d’Halong, au Viêt Nam, était élue parmi les 7 merveilles naturelles du monde. Le lieu est surtout célèbre pour ses milliers de petites roches calcaires de 50 à 100 mètres de haut qui sortent de la mer, tels des pains de sucre. La baie d’Halong fait partie de ces paysages de rêve, biens lointains, mais que l’on vous souhaite de visiter un jour.
On se propose dans ce problème de rendre hommage au lieu en étudiant la forme d’un pain de sucre de cette baie. Dans un repère orthonormé (O, i, j), où l’axe des abscisses représente le niveau de la mer et où l’unité est en mètres, on a modélisé la forme d’une de ces roches par la courbe représentative (C) d’une fonction polynômiale p du 5ème degré (c’est-à-dire de la forme p(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f, avec a non nul), représentée en Annexe. On précise que l’expression exacte de p ne sera pas donnée ni requise dans ce problème.
La forme du pain de sucre est modélisée par (C) entre l’origine, où (C) passe, et un point A (71,0) qui est la première fois où (C) recroise le niveau de la mer : le pain de sucre est donc représenté sur l’intervalle I = [0, 71].
On appelle point M (28 ; 60) le point maximum de (C) sur I.
On admet que (C) admet trois points d’inflexion E (6,8 ; 20,4), F(38,3 ; 55,1), G (51,4 ; 48,4) sur I.
On admet la propriété suivante :
« Une fonction polynômiale de degré n ne peut admettre plus de n racines »
1) a) Quel est le degré m de la fonction polynômiale p », la dérivée seconde de p? Justifier la réponse.
b) Établir, d’après la courbe de (C), le tableau de signes de p »(x) sur l’intervalle I.
c) Justifier que la limite de p »(x) en +∞ ne peut pas être +∞.
d) En déduire le signe du coefficient associé au terme xm dans l’expression de p »(x).
2) Déterminer graphiquement le signe de p'(x), puis en déduire les variations de p sur I.
3) a) Quel est le signe du coefficient a dans l’expression de p(x)?
b) En déduire les limites de p(x) en -∞ et +∞.
4) On admet (ou on peut le voir sur la courbe (C) en Annexe) que sur les intervalles [-1 ; 0] et
[71 ; 72], la courbe (C) passe sous le niveau de la mer.
a) Justifier que la courbe de (C) retraverse l’axe des abscisses au moins une fois en une valeur α négative.
b) Démontrer que si la courbe (C) retraversait l’axe des abscisses pour x>71, p n’admettrait pas d’autre racine négative que α.
Annexe
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