Musique

Problème 265 – Le code d’Olivia Rodrigo

Niveau : Terminale
Chapitres : Loi binomiale, Somme de variables aléatoires
Inédit, publié le 19/01/2022

Par le succès planétaire qu’a eu la chanson « Drivers License » en 2021, Olivia Rodrigo a certainement capté l’oreille de tous ceux qui ont passé ou qui vont passer leur permis de conduire. On sait qu’Olivia Rodrigo elle-même a eu son permis de conduire en Californie en Juillet 2020 à l’âge de 17 ans. De ce fait, elle a eu encore plus tôt son code, appelé le « DMV Written Test », dans lequel les règles et le type de questions sont un peu différents de ce que l’on trouve dans l’examen français. Nous proposons dans ce problème une modélisation, bien sûr imaginaire, de la probabilité de succès d’Olivia Rodrigo au code, le jour où elle l’a passé. 

Dans l’épreuve du code en Californie, l’objectif est d’avoir au moins 38 réponses justes sur les 46 posées (les questions sont strictement indépendantes entre elles(1). L’épreuve est un QCM, où chaque question comporte 3 réponses possibles avec une seule réponse juste. On suppose qu’Olivia Rodrigo, le jour où elle passé son épreuve avec succès, a fait face à 3 situations :
* 34 questions où elle était certaine de la réponse, et où elle ne pouvait pas se tromper.
* 8 questions « incertaines » : ce sont des questions où Olivia a pu facilement éliminer une des trois réponses, mais a mis au hasard une réponse sur les deux restantes. 
* 4 questions « inconnues », où Olivia a choisi au hasard parmi les 3 réponses.

On appelle X (respectivement Y) la variable aléatoire associée au nombre de questions « incertaines » (respectivement « inconnues ») où Olivia a répondu incorrectement.

1) a) Justifier la nature et les paramètres des lois de probabilité suivies respectivement par X et Y.

b) Écrire sous la forme d’une inégalité avec X et Y la condition pour que Olivia réussisse son code.

2) Calculer dans ce modèle l’espérance du nombre total de questions répondues juste quand Olivia a passé l’épreuve. Olivia pouvait-elle être confiante de son succès?          

3) a) Calculer P(Y = 4).
b) Calculer P(X > 4).
c) En déduire la probabilité que Olivia échoue à l’épreuve de code en ayant fait exactement 4 erreurs aux questions « inconnues ».

4) a) Appliquer le même principe pour calculer la probabilité que Olivia échoue à son code successivement avec Y = 3, Y = 2 et Y = 1 et Y = 0.

b) En déduire la probabilité de succès d’Olivia le jour où elle a passé son code. 

(1) Cette règle s’applique pour les candidats de moins de 18 ans. Pour ceux qui ont plus de 18 ans, il faut avoir 30 réponses justes sur 36 questions posées. Source : https://driving-tests.org/california/dmv-practice-test/

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