Niveau : Cinquième
Chapitres : Symétries
Première distribution (en Devoir Maison) le 27/01/2020
Créé en 1129, L’Ordre du Temple était un ordre religieux et militaire, issu des chevaliers chrétiens du Moyen Age. Ses membres étaient appelés les Templiers. Puissant et très actif pendant l’époque des Croisades chrétiennes, il fut officiellement dissous en 1312 peu après la dernière d’entre elles. Pourtant, la dissolution de l’Ordre donna naissance bien plus tard à de nombreuses légendes dans la culture populaire : on en parle dans des ouvrages comme le Da Vinci Code, des films comme Indiana Jones et la dernière Croisade ou encore dans des jeux vidéos comme Assassin’s Creed.
Un des éléments caractéristiques de l’Ordre est sa fameuse croix rouge, qui, bien qu’il y ait eu différentes versions, est souvent représentée sous sa forme dite « pattée » : bras étroits au niveau du centre, larges en périphérie. Sa représentation est visible ci-dessus.
L’objet de ce problème est d’essayer de tracer cette croix et d’en étudier les caractéristiques à l’aide des propriétés liées aux symétries axiales et centrales.
Le début d’une figure permettant de tracer une croix pattée des Templiers est commencée sur la figure en Annexe 1 (dans ce problème, on s’y réfèrera uniquement par « la figure »). On y a tracé un carré ABCD de côté 4 unités (abréviation u), de centre O. On appelle E le milieu de [AB] et F le milieu de [AD]. On considère G un point de [AB] tel que BG = 3,75 u et H un point de [AD] tel que DH = 3,75 u. On a tracé le quart de cercle (C1) de centre B de rayon BG et le quart de cercle (C2) de centre D et de rayon DH – (C1) et (C2) passant à l’intérieur du carré ABCD. (C1) coupe [OF] en I et (C2) coupe [OE] en J.
La surface (en pointillés), appelée S1,délimitée par les côtés [AF], [FI], l’arc de cercle de (C1) passant par I et G, puis [GA], constitue une partie de la croix. La surface (hachurée), appelée S2, délimitée par le côtés [AE], [EJ], l’arc de cercle de (C2) passant par J et H puis [HA] est une autre partie de la croix. On remarque que S1et S2 se superposent sur une petite partie.
1) a) On admet que S2 et S1 sont symétriques par rapport à l’axe (AC). Démontrer que S2 et S1 ont la même aire et le même périmètre.
2) Tracer sur la figure, les images B’, C’, O’, E’, G’ des points B, C, O, E, et G, ainsi que les images (C1’) et (C2’) des arcs de cercle (C1) et (C2) par rapport à la symétrie d’axe (AD).
a) Quelles sont les images des points A, H, F, et D par rapport à cette symétrie ?
b) Quels sont les centres et les rayons des arcs de cercle (C1’) et (C2’) ? Justifier votre réponse.
c) Décrire sans justifier la position exacte des points I’, J’, images des points I, J, par la symétrie d’axe (AD). Placer I’ et J’ sur la figure.
d) Sans justifier, donner les éléments qui délimitent l’image S1’ de S1 par rapport à (AD), et ceux délimitant l’image S2’ de S2 par rapport à (AD).
e) Que peut-on dire à propos de aires et des périmètres S1, S2, S1’ et S2’ ? Justifier votre réponse.
3) Tracer sur la figure les images de tous les éléments C, D, C’, F, H, (C1), (C2), (C1’), (C2’), O et O’ par la symétrie centrale de centre A (*) (inutile de nommer les éléments tracés).
a) Que peut-on dire des points B et B’ ainsi que G et G’ par rapport à la symétrie de centre A ? Justifier votre réponse.
b) On appelle S1’’, S2’’, S1’’’ et S2’’’ les images respectives des surfaces S1, S2, S1’ et S2’ par la symétrie de centre A. Identifier clairement sur la figure chacune des 8 surfaces de la question (S1et S2 étant déjà indiquées) puis les colorier toutes en rouge léger pour dessiner la croix des Templiers.
c) Que peut-on dire de l’aire et du périmètre de ces 8 surfaces ? Justifier votre réponse.
4) Julie affirme alors qu’en multipliant l’aire S1 par 8, on trouve l’aire totale de la croix. Qu’en pensez-vous ? Justifier votre réponse.
(*) On pourrait tout aussi bien faire cette question en considérant une autre symétrie axiale d’axe (AB) !
Annexe 1
MathsAMoi.com 