Problème 456 – Les accélérations passées de Flash McQueen

Niveaux : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Fonction exponentielle, Fonction logarithme, Intégrales
Inédit, publié le 20/05/2024

Cars fait partie des dessins animés les plus populaires du studio d’animation Pixar. Trois films ont assis la popularité du personnage Flash McQueen : on ne serait pas étonné de voir arriver un nouveau chapitre bientôt… En attendant, on se propose de faire un petit flashback en analysant ce qu’ont été les performances du personnage vedette dans les épisodes précédents.

Si on remonte le fil du temps, on sait que les capacités de Flash McQueen ont diminué entre Cars 2 et Cars 3 : alors que dans le premier de ces deux films, il avait atteint un pic en étant capable d’atteindre 100 km/h en 3,2 secondes pour une vitesse maximale de 322 km/h, les mêmes données dans le film suivant donnaient 100 km/h en 4 secondes et 319 km/h de vitesse maximale, ce qui n’est pas, comme nous allons le voir, une différence totalement négligeable⁽¹⁾.

On propose pour ce problème de modéliser la vitesse de Flash McQueen dans chacun des deux cas, d’un point de départ au temps t = 0 (le temps t étant en secondes) jusqu’à ce que le personnage soit quasiment à sa vitesse maximale. Pour cela, on propose d’utiliser une modélisation de la vitesse par des fonctions f et g de nature exponentielle, de la forme :

Les courbes représentatives respectives C_f et C_g de f et g sont tracées en Annexe.

1) Justifier que quand t tend vers +∞, lim f(t) = 322 et lim g(t) = 319.

2) Vérifier que les deux fonctions f et g sont strictement croissantes sur [0;+∞[.

3) A l’aide des données du problème, calculer les valeurs de a₁ et a₂ en arrondissant au millième près.

4) On pose h(t) = f(t) – g(t).

En étudiant la fonction h, déterminer à quel moment t₀, arrondi au millième de seconde près, la différence de vitesse entre les deux fonctions f et g est la plus grande.

5) On admet que les distances d₂ et d₃ en mètres parcourues par Flash McQueen dans Cars 2 et Cars 3, entre le point de départ et un temps t₁, sont respectivement données par :