Problème 579 – Le novice du saxophone

Niveaux : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques, Algorithmique (Python)
Première distribution (en Devoir Surveillé) le 24/03/2026

            Nael, un élève de lycée, a décidé d’apprendre à jouer du saxophone, avec l’espoir de pouvoir un jour reproduire des morceaux mythiques tels que « Take five » ou « Baker Street ». Mais cela va prendre du temps, d’autant plus que Nael ne peut jouer que de manière occasionnelle. A chaque répétition, Nael apprend 4 nouvelles mesures d’une partition de musique, mais remarque qu’il oublie à chaque fois 10% de tout ce qu’il a déjà appris lorsqu’il commence une nouvelle répétition. 

          Considérons une nouvelle partition que Nael veut apprendre. On considère (u_n)_{n ∈ ℕ*} la suite qui, à la n-ième répétition de cette partition, associe le nombre de mesures réellement maîtrisées par Nael avant le début de cette répétition . On a donc, avant que ne commence la première répétition, u₁ = 0. On admet que le nombre de mesures maîtrisées peut être un nombre qui n’est pas entier.

1) a) Justifier pourquoi on a u_n+1 = 0,9u_n + 3,6.

    b) Justifier que (u_n) n’est ni une suite géométrique, ni arithmétique.

2) On considère la suite (v_n)_{n ∈ ℕ}* telle que v_n = u_n – 36.

     a) Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.

     b) En déduire une expression de v_n puis de u_n en fonction de n.

3) Déterminer à l’aide de la calculatrice au début de quelle répétition Nael aura maîtrisé au moins 30 mesures sur cette partition.

4) Compléter le script Python suivant d’une fonction nael(n) qui retourne une liste contenant dans l’ordre les n premiers termes de la suite (u_n).

5) a) Calculer la limite de u_n quand n tend vers +∞.

b) Que signifie ce résultat pour Nael? Qu’en pensez-vous ?