Problème 533 – Dans le bus, où vous voulez…

Niveaux : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Combinatoire, Dénombrement, Suites numériques
Inédit, publié le 19/05/2025

            Que cela soit en sortie ou en voyage scolaire, quelle est la bonne place dans un bus ? Entre ceux qui s’arrachent les places du fond, ceux qui ont peur d’être malades et restent devant ou encore ceux qui veulent absolument s’asseoir ensemble, combien existe-t-il de manières d’occuper l’espace ? Cela dépend de plusieurs paramètres, comme nous allons le voir dans ce problème.

            Prenons l’exemple d’un petit groupe de spécialité maths de Terminale, qui a l’opportunité d’aller visiter le très joli musée Fermat de Beaumont-de-Lomagne^(*). Les 20 élèves de ce groupe ont la chance de se répartir sur 45 places (20 paires de sièges et 5 places à l’arrière), en ne comptant pas les places prises par le chauffeur et les deux professeurs à l’avant du bus.  

Dans tout le problème, on exprimera les résultats sous une forme scientifique a x 10ⁿ, où n ∈ ℤ, a ∈ [1 ; 10[  en arrondissant la valeur de a à 10^-2 près.

1) a) Si on ne différencie pas les élèves ni les places, combien ce groupe a-t-il de manières de se répartir dans le bus ?

b) Refaire le même calcul, dans le cas où on différencie les élèves.

2) On suppose que dans ce groupe, 5 élèves s’accaparent (sans demander aux autres, les vilains !) les 5 places du fond. En différenciant les élèves, combien y a-t-il alors de manières de répartir tous les élèves dans le bus ? 

3) On suppose maintenant que parmi 15 élèves qui ne sont pas assis sur les 5 places du fond, il y a 6 paires d’élèves qui veulent être assis(e)s ensemble et 3 élèves qui n’ont aucune préférence. 

En ne différenciant pas les élèves ou même les paires d’élèves (en excluant les 5 élèves au fond), combien y a-t-il alors de manières de répartir tous les élèves dans le bus ?

4) Chaque année, le groupe qui a la chance de faire cette visite n’est pas de même taille. On appelle alors n le nombre d’élèves qui font cette sortie scolaire dans une année quelconque, en supposant que les élèves disposent toujours de 45 places. Dans cette question, on ne différencie pas les élèves et on suppose qu’ils n’ont aucune préférence pour s’asseoir.

On appelle (u_n) la suite qui à n (pour 1 ≤ n ≤ 45) associe le nombre de manières de répartir les élèves dans le bus.

a) Calculer u₁ et u₄₅.
b) Étudier les variations de la suite (u_n).
c) En déduire pour quelle(s) valeur(s) de n le nombre de manières de répartir les élèves dans le bus est maximal, et calculer ce nombre.

(*) Remarque de l’auteur : je vous recommande à titre d’enseignant la visite de ce musée avec vos classes !