Problème 513 – La dilatation du temps de Narnia

Niveaux : Seconde
Chapitres : Fonctions affines
Inédit, publié le 20/02/2025

Le Monde de Narnia, la très célèbre saga littéraire en sept tomes écrite par l’auteur britannique C.S. Lewis, raconte l’histoire d’enfants qui sont transportés dans un monde imaginaire peuplés d’êtres magiques et d’animaux qui parlent. L’histoire amène les héros à faire des allers-retours entre le monde réel et le monde de Narnia : on comprend alors que le temps sur Narnia passe plus vite que dans le monde réel. Mais à quel point ce temps passe-t-il plus vite ? C’est tout l’objet de ce problème.

1) L’histoire de Narnia se déroule précisément sur 2554 années (entre l’année 1 et 2555, en considérant les milieux d’années), qui dans le monde réel ne durent que 49 années (entre l’année 1900 et 1949).

En moyenne, combien de temps une année dans le monde réel dure-t-elle dans le monde de Narnia ?

2) L’écoulement du temps sur Narnia est en réalité beaucoup plus complexe. En effet, l’histoire marque de nombreuses correspondances entre une année dans le monde réel et une année dans Narnia. Ces correspondances sont indiquées dans le tableau en Annexe 1. A chaque correspondance, on associe un point d’abscisse x et d’ordonnée y, que l’on va pouvoir placer sur le graphique en Annexe 2.

a) Placer les points du tableau de l’Annexe 1 sur le graphique en Annexe 2, puis relier les dans l’ordre chronologique avec des segments de droite ; relier également les points A et J.

b) Justifier que l’écoulement du temps sur Narnia n’est pas proportionnel à l’écoulement du temps dans le monde réel.

3) On appelle alors f la fonction dont la courbe représentative est la ligne brisée précédemment tracée, et g la fonction affine dont la droite représentative est celle reliant les points A et J.

Déterminer l’expression de g, avec g(x)=mx+p (on laissera m et p sous forme fractionnaire).

4) a) Quels sont, visuellement sur le graphique, les points successifs de la ligne brisée entre lesquels le temps sur Narnia semble être passé le plus rapidement ? Justifier la réponse.

b) De même, déterminer tous les couples de points successifs pour lesquels le temps semble être passé plus lentement que l’écoulement moyen du temps calculé à la question 1).

5) On admet que l’unique point d’intersection K entre la ligne brisée et la droite représentative de g se situe sur le segment reliant points F et G.

Déterminer par le calcul les coordonnées de K (arrondir les coordonnées obtenues au centième près).

6) a) Prouver que tous les segments de droite de la ligne brisée sont associés à des fonctions affines dont le coefficient directeur est positif.

b) En déduire les variations de f sur [1900 ; 1949].

c) On ne sait en réalité pas forcément comment f a évolué entre les différents points placés sur le graphique : rien ne dit qu’il y ait eu une évolution affine entre ces points, ou même que le temps sur Narnia soit passé toujours plus rapidement que dans le monde réel.

Est-il alors possible qu’entre ces points, f ait pu être, à un moment, décroissante ou constante? Justifier la réponse.

Annexe 1^(*)