Problème 501 – Les donateurs de la reconstruction de Notre-Dame

Niveaux : 2 versions : Cinquième et Seconde
Chapitres : 5^ème : Pourcentages, Statistiques / 2^nde : Fonctions, Équations, Inéquations
Inédit, publié le 09/12/2024

            Cinq années après le terrible incendie qui l’avait ravagée le 15 avril 2019, la cathédrale de Notre-Dame de Paris a officiellement été réouverte le 7 Décembre 2024, après cinq années de travaux monumentaux. L’extraordinaire exploit de cette reconstruction si rapide n’aurait pas été possible sans l’engagement de milliers de personnes qui ont travaillé sur le chantier. Cet exploit n’aurait pas non plus été possible sans le soutien financier d’environ 340 000 donateurs (grandes fortunes, particuliers, collectivités, entreprises, associations), qui, dans un immense élan de générosité, ont contribué à hauteur de 846 millions d’euros. C’est à leur générosité qu’est dédié ce problème.

          Pour l’analyse que nous allons effectuer, on va répartir les donateurs selon les trois groupes suivants:

– 13 grands donateurs (particuliers ou entreprises) qui ont chacun donné au moins 10 millions d’euros. Ils ont à eux seuls donné 740 millions d’euros.

– 40 000 donateurs majeurs, qui ont donné au moins 1 000 euros (et moins de 10 millions d’euros).

– 300 000 « petits » donateurs qui ont fait l’effort de contribuer à leur manière à cette reconstruction, en donnant moins de 1 000 euros. Leur don, quel que soit le montant donné, mérite reconnaissance.  

Dans l’ensemble des deux problèmes, qui sont strictement indépendants, on arrondira les résultats obtenus à l’entier près.

Problème Niveau Cinquième

1) Quel pourcentage des dons représente la part des grands donateurs ?

2) Quel a été la contribution moyenne en euros par donateur, pour l’ensemble des donateurs ?
Remarque : on pourra arrondir le nombre total de donateurs à 340000.

3) a) Justifier que les donateurs majeurs n’ont pas pu, en moyenne, donner plus de 2 650 € par donateur.

b) Justifier également que les « petits » donateurs n’ont pas pu donner plus de 220 € par donateur. 

4) On suppose pour cette question que les petits donateurs ont en moyenne contribué à hauteur de 200 euros par donateur.

a) Dans ce cas, quel pourcentage des dons représenterait la part des « petits » donateurs ? Et des donateurs majeurs ?

b) En déduire, dans cas, une représentation graphique par un diagramme semi-circulaire des dons de chacun des trois groupes: grands donateurs, donateurs majeurs, « petits » donateurs.
Placer sur le graphique une légende ainsi que les pourcentages de dons calculés en 1) et 4.a).

Problème Niveau Seconde

On appelle x la contribution moyenne, en euros, des donateurs majeurs, et f la fonction qui à x associe la contribution moyenne, en euros, des « petits » donateurs.

1)  Justifier que le domaine de définition de la fonction f est [1 000 ; 2 650].

2) a) Calculer le montant total maximum qui a pu être donné par les « petits » donateurs.
b) En déduire que f(x) ≤ 220.

3) Justifier que f(x)= -(2/15)x + 1060/3.

4) Pourrait-il exister une valeur de x telle que la contribution moyenne des « petits » donateurs soit égale à 1/10 de la contribution moyenne des donateurs majeurs ? Si oui, calculer cette valeur, arrondie à l’euro près.

5) On cherche à déterminer l’intervalle des valeurs de x qui feraient que la contribution totale des donateurs majeurs soit inférieure à la contribution totale des « petits » donateurs.

Poser et résoudre l’inéquation qui permet de répondre à cette question.