Niveaux : Quatrième
Chapitres : Calcul littéral
Inédit, publié le 05/11/2024
Comme pour la FIFA au football, l’organisme international World Rugby classe les équipes nationales de rugby à XV selon leurs performances. Chaque pays y reçoit un nombre de points entre 0 et 100. Après chaque rencontre jouée entre deux pays, les équipes qui s’affrontent échangent au classement un certain nombre de points qui va dépendre non seulement du résultat du match, mais aussi du type de match joué (à domicile ou à l’extérieur, Coupe du monde ou pas) et du nombre de points au classement qu’avait chaque équipe avant le début de la rencontre. On propose, dans ce problème, de porter un regard sur la manière dont ces points échangés sont calculés.
Considérons une équipe 1 avec un nombre x1 de points dans le classement World Rugby, et qui joue contre une équipe 2 qui a un nombre x2 de points. On calcule d’abord le nombre D (spécifique à l’équipe 1), qui est tel que(1) :
D ne peut pas être inférieur à -10 ou supérieur à 10 : si le calcul ci-dessus donne un nombre inférieur à -10 (supérieur à 10), D est transformé en -10 (respectivement en 10).
1) Calculer les valeurs de D dans les trois cas ci-dessous (où la valeur de D est calculée pour la première équipe nommée)(2) :
a) La France (x1 = 86,96) joue à domicile contre l’Ecosse (x2 = 82,82).
b) Les Tonga (x1 = 68,12) joue à l’extérieur contre la Nouvelle-Zélande (x2 = 88,70).
c) L’Afrique du Sud (x1 = 91,77) joue sur terrain neutre contre l’Angleterre (x2 = 85,40).
2) On calcule ensuite un second nombre P : dans le cas où l’équipe gagne, on a P = 1 – D/10.
Si elle perd, on a P = – (1 + D/10). S‘il y a un match nul, P = – D/10.
Dans le cas de la question 1.a), calculer le nombre P si la France gagne.
3) Enfin, pour calculer le nombre de points gagnés ou perdus au classement World Rugby à l’issue d’un match, on multiplie le nombre P par un coefficient C tel que :
C = 1 si l’équipe gagne avec 15 points ou moins (note importante: ici, on parle de points dans le match, pas dans le classement World Rugby)
C = 1,5 si l’équipe gagne avec plus de 15 points(3).
Dans le cas de la question 1.a), calculer le nombre de points gagnés par la France dans le cas d’une victoire sur l’Ecosse avec 16 points d’écart dans le match.
4) Dans le cas de la question 3), recalculer les valeurs de P et de D mais du point de vue de l’Ecosse, et montrer que l’Ecosse a perdu, au classement World Rugby, exactement le nombre de points que la France a gagnés.
5) Montrer que d’une manière générale, une équipe 1 qui gagne a domicile contre une équipe 2 gagne, au classement World Rugby, toujours exactement le nombre de points que l’équipe 2 perd (pour cela, on calculera P pour chacune des deux équipes en gardant les expressions littérales).
6) Dans quelle(s) condition(s) sur leurs points dans le classement World Rugby deux équipes qui font match nul n’échangent-elles aucun point ? Justifier la réponse, en séparant les cas où le match est joué à domicile, à l’extérieur, ou sur terrain neutre.
(1) Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Classement_World_Rugby_des_équipes_nationales_de_rugby_à_XV
(2) Source : Valeurs dans le classement World Rugby au 4/11/2024 : https://www.world.rugby/rankings
(3) Quand le match est joué durant une coupe du Monde, la valeur de C est doublée. C’est une information qu’on pourra ignorer ici.
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