Niveaux : Troisième
Chapitres : Repérage sur une sphère, Théorème de Pythagore
Inédit, publié le 31/10/2024
A l’autre bout de la planète, au milieu de l’océan Pacifique, Vaiana (ou Moana dans la version originale ou au Québec) est l’héroïne d’un des derniers dessins animés très réussis des studios Disney. Le succès du film, sorti en 2016, a d’ailleurs été tel qu’un second film a été créé et projeté dans les salles de cinéma en novembre 2024.
Dans le premier film, Vaiana est une jeune fille forcée de quitter son île, Moto Nui, pour sauver sa tribu. En route, son bateau est balayé par un typhon et il fait naufrage sur l’île de Maui, un guerrier qui aidera Vaiana dans sa quête pour rendre le cœur à Te Fiti, la déesse de la vie. Même si on recommande le film, il n’est bien sûr pas nécessaire de le regarder pour pouvoir répondre correctement aux questions de ce problème.
Dans tout le problème, les résultats seront arrondis à l’entier près.
1) En Annexe, on donne une carte géographique centrée sur la zone du Pacifique où se situe l’histoire du film.
a) Donner l’hémisphère où se situe cette carte.
b) Surligner sur la carte le méridien qui est opposé à celui de Greenwich.
c) Expliquer pourquoi, sur cette carte, les latitudes en « Ouest » se situent à droite, et celles en « Est » se situent à gauche, contrairement à ce qu’on pourrait trouver, par exemple, sur une carte centrée sur l’Europe.
2) a) Donner les coordonnées de l’île imaginaire de Moto Nui (marquée par un point V sur la carte en Annexe) d’où part Vaiana.
b) Placer sur la carte le point M désignant l’île de Maui (160°O ; 21°S) et le point T désignant l’île de Te Fiti (150°O ; 17°S).
3) On admet pour la suite du problème que les points V, T et M forment un triangle sur un même plan (même si c’est très légèrement incorrect à cause de la courbure de la Terre).
Vaiana va initialement du point V en direction du point T (en ligne droite) et parcourt 440 km quand le typhon frappe le bateau en un point H. Le bateau est alors projeté sur l’île de Maui (également en ligne droite entre H et M). H est alors le pied de la hauteur issue de M dans le triangle VTM. On donne VM = 570 km.
a) Tracer sur la carte en Annexe le triangle VTM et placer le point H.
b) Calculer la distance HM et en déduire le nombre de kilomètres que Vaiana a parcourus en plus en passant par le point H, au lieu d’aller directement de son île à celle de Maui.
4) On admet que Vaiana et Maui vont ensuite en ligne droite de l’île de Maui à celle de Te Fiti. Après avoir rendu le cœur à Te Fiti, Maui rentre chez elle, directement du point T au point V. On donne VT = 1 600 km.
Calculer la distance totale, en km, du voyage de Vaiana.
Annexe
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