Niveaux : Terminale (Spécialité Maths)
Chapitres : Suites numériques, Algorithmique (Python), Fonction logarithme népérien
Inédit, publié le 18/09/2024
La série « Emily in Paris », qu’elle soit adulée ou décriée, est une formidable vitrine pour la ville de Paris, mais aussi pour la mode. Quasiment tous les personnages, à commencer par l’héroïne Emily Cooper jouée par l’actrice Lily Collins, sont vêtus d’habits qui semblent tout droit sortis des dernières collections de mode. Le réalisme de la série est alors vite évacué quand il s’agit de s’interroger sur le coût astronomique de ces vêtements par rapport au salaire présumé d’Emily… à moins que cette dernière ne décide de cumuler de la dette. C’est tout l’objet de ce problème !
Selon une étude proposée en 2022 suite à la saison 3(1), il est estimé qu’Emily a un métier qui lui permet de gagner environ 45 000 €/an, alors que son train de vie lui fait dépenser près de 115 000 €/an, avec une majorité des dépenses rien que pour son shopping vestimentaire. De ce fait, on peut estimer qu’Emily est obligée d’emprunter 70 000 € chaque année pour réussir à maintenir son « lifestyle ».
Dans ce problème on suppose alors qu’Emily a réussi (NB : ce qui est aussi irréaliste que la série elle-même) à convaincre une banque de lui prêter ce montant. Bien sûr, la banque demande un taux d’intérêt d’annuel, fixé à 7%. Ainsi, à chaque début d’année, le montant de la dette cumulée d’Emily augmente de 7%, puis augmente encore du nouvel emprunt de 70 000€. On modélise alors la situation en utilisant une suite (un)n∈ℕ qui représente la dette d’Emily en euros, n années après son arrivée à Paris, avec u0 = 70 000.
1) Montrer que un+1 = 1,07un + 70 000.
2) Établir un programme Python permettant de déterminer au bout de combien d’années n1 Emily dépasse 500 000 € de dettes, et en déduire la valeur de n1.
3) Bien sûr, après n1 années passées à cumuler de la dette pour sa garde-robe, plus personne ne veut prêter d’argent à Emily, qui est obligée de rembourser la dette abyssale cumulée – qu’on imagine égale à 500 000 €. La banque lui impose alors de rembourser chaque année un certain montant m annuel. Toutefois, quand Emily effectue ses remboursements, faisant ainsi diminuer sa dette, la banque continue d’appliquer un taux de 7% sur la dette restante à la fin de chaque année.
Quel est le montant minimum m1 (m1 étant un entier) qu’Emily doit payer la première année de son remboursement pour voir sa dette diminuer par rapport à l’année précédente?
4) Emily s’astreint à rembourser un montant m annuel égal à 35 000 € par an, soit une très grosse partie de son salaire actuel (NB : ce qui est encore une fois absurde… !). On appelle maintenant (vn)n∈ℕ la suite qui représente la dette d’Emily en euros n années après avoir atteint sa dette maximale. On a donc v0 = 500 000.
a) Montrer que vn+1 = 1,07vn – 37 450.
b) On pose la suite (wn)n∈ℕ telle que : wn = vn – 535 000.
Montrer que (wn) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme.
c) En déduire une expression de wn puis de vn en fonction de n.
d) Quelle est la limite de la suite (vn) ?
5) Poser et résoudre l’inéquation qui permet de déterminer au bout de combien d’années entières après son arrivée à Paris Emily n’aura plus de dettes à rembourser.
(1) https://womenlovetech.com/what-would-it-really-cost-to-live-like-emily-in-paris/
MathsAMoi.com 