Problème 478 – Détective Conan : derrière le numéro du Boss

Niveaux : 2 versions : Sixième / Cycle 3 et Seconde
Chapitres : 6^ème : Arithmétique, Critères de divisibilité
2^nde : Arithmétique, Systèmes d’équations, Algorithmique (Python)
Inédit, publié le 23/08/2024

            Au même titre que « One Piece », Détective Conan fait partie de ces mangas fleuve dont on ignore quand on atteindra à la fin. Au bout d’une centaine de tomes parus depuis 1994, Conan n’est pas encore arrivé à retrouver de manière permanente sa taille originale, perdue après avoir été empoisonné par « l’Organisation ». A la tête de celle-ci, on trouve l’impitoyable Renya Karasuna, alias « Le Boss ».

            Dans un des tomes de la série, on apprend que le numéro pour contacter le Boss reproduit, avec la tonalité des touches d’un téléphone, le début d’une musique enfantine japonaise nommée Nanatsu no ko (七つの子). Il faut taper : #969#6261. Mais qu’est-ce qui se cache derrière les deux signes « # » de ce fameux numéro? Conan enquête ici dans ce problème pour comprendre mieux…

Les deux problèmes proposés sont totalement indépendants (et donnent deux résultats très différents pour trouver le numéro du Boss !).

Problème Niveau Sixième / Cycle 3

1) Montrer que les nombres 969 et 6261 sont divisibles par 3. 

2) Dans ses recherches, Conan comprend que le numéro du Boss est un numéro à 9 chiffres, où le signe # remplace un même chiffre (qui ne commence donc pas par 0).

Montrer que, quel que soit le chiffre qui pourrait remplacer les signes « # », le numéro à 9 chiffres obtenu n’est divisible ni par 2, ni par 4, ni par 5.

3) Quel est le seul chiffre possible qui, placé à la place des deux signes « # », permet d’obtenir un numéro à 9 chiffres divisible par 9 ?

4) Conan finit par trouver l’indice décisif suivant pour trouver le numéro du Boss :
« La somme des chiffres du numéro du Boss donne un nombre qui n’est pas dans la table de tous les nombres entre 2 et 9. De plus, le numéro du Boss est un multiple de 7 »

A l’aide de cet indice, retrouver avec Conan le numéro du Boss.

Problème Niveau Seconde

          Conan fait des recherches pour comprendre que le numéro du Boss est un nombre à 9 chiffres, où les signes « # » sont remplacés par deux chiffres non nuls pas forcément identiques. Pour simplifier l’étude, on les appellera a et b, respectivement pour le premier dièse, puis le second.

1) Prouver que si a = b, alors la somme des chiffres du numéro de Boss ne peut pas être paire.

2) Montrer que si a + b est divisible par 3, alors le numéro du Boss est divisible par 3.

3) a) Quelles sont les valeurs possibles de la somme a + b pour que le numéro du Boss soit divisible par 9?
b) Si dans ce cas, on savait en plus que a – b = 1, quelles seraient alors les valeurs de a et de b ?

4) Dans ses recherches, Conan finit par comprendre que le numéro du Boss est un nombre premier. Conan n’a pas d’autres choix que de tester toutes les possibilités de couples de nombres entiers non nuls (a ; b) pour voir dans quels cas il obtient un nombre premier. 

a) Établir un programme Python qui permet de tester tous les couples de valeurs (a ; b) et de dire lesquels donnent un nombre à 9 chiffres premier.

b) Parmi tous les numéros potentiels trouvés par le programme en 4.a), celui du Boss répond à la contrainte suivante: « Si on rangeait tous les numéros potentiels dans l’ordre croissant, ce serait le n^ème, sachant que nest le seul chiffre qui n’apparaît dans aucun de ces numéros ».

A l’aide de cet indice, retrouver avec Conan le numéro du Boss.