Problème 474 – Vue sur la vasque olympique

Niveaux : Troisième
Chapitres : Volumes (Boule), Théorème de Pythagore, Trigonométrie
Inédit, publié le 13/08/2024

Lumière élevée dans le ciel durant tous les Jeux olympiques et paralympiques de Paris 2024, la vasque olympique aura brillé tant par son emplacement au cœur de Paris – au Jardin des Tuileries – que par son originalité : un immense ballon sphérique de 22 m de diamètre de type montgolfière qui s’élevait chaque soir, illuminé par un feu « écologique » fait d’eau et de lumières.

La ferveur autour de cette vasque était telle qu’elle attirait pendant les Jeux des milliers de curieux et curieuses venu(e)s la voir s’élever dans le ciel à l’heure du coucher du soleil. Un des lieux principaux pour admirer cet extraordinaire spectacle était le Pont Royal, sur la Seine. La position de la vasque ainsi que celui du pont sont visibles sur la carte en Annexe 1, où on a indiqué certains points clés et certaines dimensions.

Dans tout le problème, les résultats seront arrondis à l’unité près. Les distances seront calculées en mètres.

1) Calculer en m³ le volume du ballon de la vasque.

2) En utilisant les dimensions indiquées sur la carte en Annexe 1, calculer (sans la mesurer sur la carte) la distance entre le point R au milieu du Pont Royal et le centre V de la vasque au sol.

3) L’élévation verticale du ballon était telle qu’il atteignait 60 m de hauteur en son point le plus haut. On admet que le centre B du ballon était alors parfaitement à la verticale du point V (voir Annexe 2).

a) Quelle était la hauteur du centre B du ballon élevé dans le ciel?
b) En déduire la distance entre R et le centre B du ballon quand il était élevé dans le ciel.

4) Oriane est une collégienne venue admirer le ballon, précisément depuis le point R sur le Pont Royal. Ses yeux étaient situés à 1,50 m de hauteur au point A. Dans le plan formé par les points R, B, V, on appelle H le point à la même hauteur que A sur la verticale (BV) (Annexe 2).

Calculer en degrés la mesure de l’angle d’élévation du regard d’Oriane, qui correspond à l’angle HAB.

Annexe 1