Problème 467 – La maison de ma tante

Niveaux : Première (Spécialité Maths) (ou début de Terminale)
Chapitres : Suites numériques
Inédit, publié le 10/07/2024

            Dans les colonies de vacances, ou simplement dans la cour de récréation, les chansons à répondre, qui consistent à répéter ce que le meneur chante en premier, sont parfaits pour créer une belle ambiance ! L’une d’entre elles, « La maison de ma tante », est l’objet de ce problème. Ceux qui ne la connaissent pas peuvent en prendre connaissance sur le lien suivant avec les paroles et la musique : https://tinyurl.com/fr83m48b. Il faut bien garder en tête cependant qu’il existe de très nombreuses versions de cette chanson, souvent développées à l’imagination du chanteur ou de la chanteuse ! 

          Si l’on essaye de suivre le principe de cette chanson, on comprend que chaque strophe se conclut par une phrase qui s’allonge à chaque fois de trois ou quatre syllabes par rapport à la strophe précédente. Par exemple, à la troisième strophe, on insère « le jardin » à « C’était l’allée de la maison de ma tante ! » pour faire « C’était le jardin de l’allée de la maison de ma tante ! ». Au bout d’un certain moment, la phrase qui s’allonge (qu’on appellera pour simplifier : « la phrase »), devenue très longue, demande beaucoup de mémoire… 

          Prenons le cas de Anris, une jeune lycéenne qui décide de créer sa propre version de la chanson, et notamment de la phrase. Celle-ci commence toujours par : « C’était la maison de ma tante ! », qui contient 9 syllabes, puis elle s’allonge d’abord de 3 syllabes, puis de 4, puis de 3, puis de 4 alternativement etc… Pour suivre la longueur de la phrase dans la version d’Anris, on crée une suite (u_n)_{n∈ ℕ} qui à la n-ième strophe de la chanson, associe un nombre u_n de syllabes dans la phrase. On pose donc u₁ = 9.

1) Combien de syllabes contient la phrase de la 4^ème strophe de la chanson d’Anris ? Et la 7^ème ?

2) Considérons une suite (v_n)_{n∈ ℕ} arithmétique de raison 3,5 et de premier terme v₁ = 9.
Exprimer u_n en fonction de n.

3) a) Montrer que si n est impair, alors u_n = v_n et que si n est pair, alors u_n = v_n – 1/2.

b) En déduire une expression de u_n en fonction de n, en séparant le cas où n est pair de celui où n est impair.

4) On suppose que la longue chanson d’Anris se termine lorsque la phrase dépasse 50 syllabes, à la n₁^ème strophe. Déterminer la valeur de n₁.

5) (question difficile) On cherche maintenant à calculer la somme du nombre de syllabes contenues dans toutes les phrases de la chanson d’Anris. 

Soit S_n la somme des n premiers termes de la suite (u_n) avec n impair et supérieur ou égal à 3. 

a) Montrer que la somme des nombres entiers de 2 à (n+1)/2 est égale à (n+1)(n+3)/8 – 1.
b) Montrer que pour n≥3 impair, S_n = S_n-2 + 7(n+1).
c) En déduire que S_n = -5 + 14(n+1)(n+3)/8.
d) Appliquer la formule pour les n₁ strophes de la chanson d’Anris et conclure.