Niveaux : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Configurations géométriques/Vecteurs/Produit Scalaire
Inédit, publié le 04/07/2024
Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs et angles sont écrits en gras italique.
Discipline sportive d’origine hindou généralement peu pratiquée par les adolescents, le yoga, qui allie des exercices physiques et respiratoires, est surtout connu pour ses postures bénéfiques pour le corps. Il y a de très nombreuses postures, qui portent parfois des noms qui prêtent à sourire (e.g. « posture du chien tête en bas », « posture de la montagne »…) mais qui ont toutes leurs bienfaits. Nous allons ici étudier la plus « mathématique » d’entre elle : « la posture du triangle ».
Celle-ci, comme montré sur la photo d’introduction du problème, consiste à se pencher sur le côté, jambes écartées et tendues, puis à écarter les bras, l’une au niveau du talon, l’autre vers le ciel. En réalisant cette posture, on peut constater qu’effectivement des triangles se forment. Pour bien les visualiser, on a représenté la posture par un schéma en Annexe. Sur cette figure, on a nommé des points clés et indiqué plusieurs longueurs associées à des parties du corps(*). On voit alors que la posture est englobée dans un grand quadrilatère ABCD pour lequel l’objectif de ce problème va être de calculer l’angle formé par ses deux diagonales.
Dans tout le problème, les longueurs seront calculées en mètres, avec un arrondi au centième près, et les angles seront calculés en degrés, avec un arrondi à l’unité.
1) Calculer le produit scalaire AD.AF.
2) Calculer la longueur AH en cm, ainsi que celle de la longueur BG.
3) Déterminer la mesure de l’angle BAD.
4) a) Calculer la mesure de l’angle ABG.
Indication : on rappelle que la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 360°.
b) En déduire le produit scalaire BA.BG.
c) Calculer BC.BG, et en déduire le produit scalaire AC.BG.
5) En décomposant judicieusement les vecteurs AC et BD, calculer alors AC.BD.
6) En déduire en degrés la mesure de l’angle CID, qui correspond à l’angle formé par les deux diagonales de la posture.
Annexe
(*) Les données sont basées sur un corps d’environ 1m70, mais ces longueurs ne sont en rien des moyennes ni des références, tant la posture peut varier pour des individus d’une même taille…
Source image d’entrée: https://www.camsyoga.fr/blog/posture-trikonasana-triangle/
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