Problème 439 – Au milieu de la brume

Niveaux : Troisième
Chapitres : Volumes, Puissances, Proportionnalité
Inédit, publié le 12/03/2024

            Dans le monde des parfums, la brume est devenue l’un des choix les plus populaires. Moins concentrée que le parfum pur, l’eau de parfum ou l’eau de toilette, elle est plus légère et plus accessible aux jeunes publics. Il y en a pour tous les goûts et toutes les marques, tant pour le public féminin que masculin.

            Dans ce problème, nous allons plonger dans la nature même des brumes parfumées et tenter de comprendre ce qui se passe quand elles sont utilisées. Une brume est définie par une contenance en parfum pur de l’ordre de 1% à 3% par rapport au volume total – le reste étant essentiellement de l’eau. A chaque pression sur le spray de la brume, environ 0,1 mL de la brume est projetée sous forme de micro-goutelettes qui ont une taille de l’ordre de 100 µm de diamètre (on rappelle que 1 µm = 10^-6 m), sachant que pour ce problème, on assimilera une micro-goutelette à une boule. 

Tous les résultats à exprimer avec une notation scientifique s’écriront sous la forme a x 10ⁿ où n est un entier, et a un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (non inclus), à arrondir au centième près.

1) Combien de pressions sur le spray peut-on espérer faire pour une brume parfumée de 50 mL ?

2) a) Calculer le volume d’une micro-goutelette, en l’exprimant en mL avec une notation scientifique.

b) Calculer le nombre de micro-goutelettes envoyées par une pression sur le spray. 

c) En déduire le nombre de micro-goutelettes contenues dans une bouteille de brume parfumée de 50 mL, avec une notation scientifique.

3) En supposant que la brume est mélangée de manière totalement homogène, proposer un encadrement, avec des nombres sous une notation scientifique, de la quantité en mL de parfum pur contenu dans une micro-goutelette de cette brume.

4) Lucie achète une brume de 50 mL de sa marque préférée, dont la concentration en parfum pur est de 1%. Elle paye 19,90 €. On suppose que le liquide contenu dans la brume ne représente que 10% du prix total payé par Lucie, et que l’eau a un coût négligeable.

a) Quel est le prix pour 1 litre du parfum pur utilisé pour fabriquer cette brume ?

b) A l’aide du résultat obtenu, expliquez pourquoi de nombreux parfums ont besoin d’être vendus sous forme de brume.