Problème 437 – La dune du Pilat

Niveaux : Seconde
Chapitres : Équations de droite, Repérage dans le plan
Inédit, publié le 04/03/2024

Note: sur la version en ligne du problème, les vecteurs sont écrits en gras italique.

Si elle n’atteint peut-être pas la taille des dunes d’Arrakis, la dune du Pilat, en Gironde, reste la plus haute d’Europe – et peut-être la plus belle. Haute d’un peu plus de 100 mètres (à la dernière mesure, sachant qu’elle diminue progressivement), longue de 3 km, elle offre un point de vue somptueux sur l’océan et est un des points majeurs de toute visite dans la région.

Si d’un endroit à un autre, les dimensions de la dune changent, on peut considérer que globalement, dans une coupe transversale, la dune se compose de 3 parties d’ouest en est : 1) une pente douce qui part de la mer ; 2) une petite crète ; 3) une descente qui part de la crête vers la forêt, divisée elle-même en plusieurs parties dont la première est plus abrupte.

On modélise ainsi la dune comme dans le graphique en Annexe. On considère que l’origine O est le point de départ de la dune à l’ouest, au niveau de la mer, et que les parties ci-dessus sont représentées dans l’ordre par les segments [OA] (pour la 1^ère partie), [AB] (pour la 2^ème partie), [BC], [CD] et [DE] (pour la 3^èmepartie). Les coordonnées des points A, B, D et E sont données sur le schéma. L’unité est en mètres, mais on fera attention au fait que le schéma de l’Annexe n’est pas à l’échelle.

On arrondira toutes les valeurs obtenues dans ce problème à l’unité près.

1) a) Calculer les coordonnées des vecteurs OA et AB.
b) En déduire les équations cartésiennes de (OA) et (AB).

2) En déduire la pente en degrés de la pente douce, représentée par la mesure de l’angle α sur le graphique.

3) On admet que la pente abrupte de (BC) est égale à 30° et que le point C est à 50 mètres de hauteur. Calculer l’abscisse du point C.

4) Un voyageur part de la mer en O et va jusqu’au début de la forêt en E en remontant puis en descendant la dune. Calculer la distance totale parcourue en mètres.

Annexe

Attention : le schéma n’est pas à l’échelle !
Il y a une déformation de distance entre l’abscisse et l’ordonnée,
donc aucune mesure d’angle ni de distance n’est possible directement sur le schéma…