Problème 436 – Le sable d’Arrakis

Niveaux : Troisième
Chapitres : Volumes, Puissances, Proportionnalité, Algorithmique (Scratch)
Inédit, publié le 04/03/2024

            Dans l’univers de Dune, le très fameux roman de Frank Herbert brillamment adapté récemment par le réalisateur Denis Villeneuve, Arrakis est la planète quasiment recouverte de sable qui est au centre du roman. Bien sûr, comme pour tout univers imaginaire, les données dont on dispose sont limitées, mais nous pouvons toutefois essayer d’utiliser quelques similitudes avec la Terre pour tenter de répondre ici à la question : combien y a-t-il de grains de sable sur Arrakis ?

            La question du nombre de grains de sable sur la Terre a fait l’objet de nombreuses approches, sans donner de réponse définitive (qui voudrait compter ?). On se propose de partir de celle rappelée par Eric Chaumillon, professeur à l’université de la Rochelle : « L’une des hypothèses les plus connues établit que le volume de sable de la planète représente 1 % du volume de la croûte terrestre, celle-ci faisant 1 % de celui de la Terre »⁽¹⁾. 

            Assimilons maintenant Arrakis à une boule de diamètre 3 474 km⁽²⁾. On ignore complètement sur Arrakis le pourcentage x% du volume de la planète occupé par la croûte, ou encore le pourcentage y% du volume occupé par le sable dans cette croûte, bien que contrairement à la Terre, la sable recouvre Arrakis. Par ailleurs on admet qu’un grain de sable occupe en moyenne un volume de 1 mm³.

1) Déterminer un ordre de grandeur (exprimée sous la forme d’une puissance de 10) du nombre de grains de sables sur Arrakis pour x = 1 et y = 10.

2) Établir l’écriture d’un programme Scratch qui permet de donner cet ordre de grandeur en fonction de valeurs x et y entrées au début à l’exécution du programme. Le programme retourne la phrase:
« Un ordre de grandeur du nombre de grains de sable sur Arrakis est 10 puissance …. »
Remarque : la puissance de 10 à obtenir est celle la plus proche du nombre de grains de sable obtenu par calcul (attention à l’arrondi !). On pourra prendre π = 3,14.

3) En prenant des valeurs extrêmes crédibles pour x et y, déduire du programme écrit un encadrement raisonnable, sous la forme de puissances de 10, de ce nombre de grains de sable.

(1) https://www.konbini.com/archive/nombre-grains-de-sable-et-arbres-sur-terre/
(2) https://atlasoficeandfireblog.wordpress.com/2019/04/01/atlas-of-the-imperium-arrakis/