Niveau : Seconde
Chapitres : Probabilités, Équations, Inéquations
Inédit, publié le 28/12/2023
A travers la série de livres de Suzanne Collins, puis des films qui les ont adaptés, « Hunger Games » est devenu une des sagas pour adolescents les plus populaires dans le monde. Dans des Etats-Unis dystopiques qui y sont décrits, les « Hunger Games » sont ces jeux annuels où 24 adolescents, « sélectionnés » dans les 12 districts du pays – soit 2 « tributs » par district, un garçon et une fille – s’affrontent à mort dans un jeu télévisé, jusqu’à ce qu’il n’y ait plus qu’un(e) survivant(e). Tout ceci n’est évidemment pas sans rappeler le mythique film japonais « Battle Royale ».
Dans ce problème, on se propose d’estimer certaines probabilités de remporter les Hunger Games. Bien qu’en théorie leurs chances sont égales, tous les participants ne sont pas aussi bien lotis : en effet, certains districts, plus riches et plus préparés que d’autres, sont mieux armés pour affronter l’épreuve. Ainsi, on peut reconnaître trois groupes : le groupe des districts riches (Groupe A : districts 1, 2, 4 dits de « carrière »,), le groupe des districts intermédiaires (Groupe B : districts 3, 5, 7, 8) et le groupe des districts pauvres (Groupe C : districts 6, 9, 10, 11, 12).
Du fait de ces différences, on modélise pour ce problème :
- qu’un tribut du groupe A a 3 fois plus de chances qu’un tribut du groupe B de remporter les Hunger Games.
- qu’un tribut du groupe B a 2 fois plus de chances qu’un tribut du groupe C de remporter les Hunger Games.
On admet que ces ratios de chance restent constants même pendant le déroulement du jeu, et qu’il ne peut y avoir qu’un seul tribut vainqueur par édition annuelle.
Toutes les probabilités à calculer seront arrondies au millième près.
1) Considérons un des deux tributs du district 12. Dans ce modèle, calculer sa probabilité de remporter les Hunger Games.
2) Dans chacun des cas suivants, calculer la probabilité :
a) Qu’un tribut vainqueur vienne du district 5.
b) Qu’un tribut vainqueur ne vienne pas du district 1.
c) Qu’un tribut vainqueur vienne du groupe C.
d) Qu’un tribut vainqueur ne vienne pas du groupe A.
3) Au fur et à mesure que les Hunger Games se déroulent, les tributs s’éliminent entre eux, un à un.
a) Prouver qu’il est impossible qu’à un moment du jeu avant la victoire finale, un tribut issu du groupe C ait strictement plus d’une chance sur deux de remporter les Hunger Games.
b) Quel est, à l’inverse, le nombre maximal de tributs restants dans le jeu qui permet à un tribut du groupe A d’affirmer qu’il a strictement plus d’une chance sur deux d’être victorieux ?
4) Supposons qu’à un moment donné, chaque groupe ait perdu, par rapport au début du jeu, un même nombre n de tributs (1 ≤ n ≤ 6, puisqu’il y a au maximum 6 tributs dans le groupe A).
Démontrer que quelle que soit la valeur de n, la probabilité que la victoire revienne à un tribut du groupe A aura diminué par rapport au début du jeu, alors qu’elle aura augmenté pour une victoire d’un tribut du groupe B ou C.
MathsAMoi.com 