Problème 401 – Les deux volants du badminton

Niveau : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Polynômes du second degré, Nombre dérivé
Inédit, publié le 17/08/2023

Quand on joue au badminton, on peut choisir généralement entre deux types de volants (pour ceux qui n’ont jamais joué : le volant est le nom du projectile que l’on frappe avec la raquette) : avec une jupe en nylon (plastique) ou en plumes. Ce choix n’a pas une incidence nulle, car le comportement des deux types de volants n’est pas du tout le même. Alors qu’un volant en plastique aura tendance à faire des trajectoires paraboliques, celui en plumes fera plus souvent une trajectoire dite « parachute » (voir figure en Annexe 1⁽¹⁾).

Dans ce problème, nous allons tenter de répondre à deux questions autour de ces deux types de trajectoires. En supposant qu’on envoie un volant en plumes à une certaine hauteur maximale et à une certaine distance :

1. Avec quel angle (par rapport à l’horizontale) faudra-t-il projeter son volant en plastique au départ pour atteindre la même hauteur maximale et toucher le même point au sol ?

2. Hormis le point de départ et d’arrivée, par quel autre point commun les deux trajectoires de volants passeront-elles ?

Pour cela, on prend pour trajectoire parachute la courbe visible en Annexe 2⁽²⁾. Celle-ci, est tracée dans un repère orthonormé (O, I, J), avec pour unité de longueur le mètre et un axe des abscisses représentant le sol. On voit de la courbe que le volant en plumes est initialement frappé du point A(0 ; 0,4), atteint son maximum en B (6,4 ; 6,2), puis tombe rapidement au sol au point C (9 ; 0).

On modélise la trajectoire du volant en plastique par une parabole, représentative d’une fonction f(x) = ax² + bx + c, qui passe donc par les points A et C (pas B !) et par un maximum d’une hauteur égale à celle du point maximum B.

1) Quels sont les signes de a et de b ? Justifier la réponse.

2) Déterminer la valeur de c.

3) Établir deux équations en a et b à l’aide des coordonnées du point C et de celles du point le plus haut atteint par la parabole.

4) Résoudre le système de deux équations à deux inconnues établi en 3) pour trouver les valeurs de a et de b (on pourra arrondir les valeurs trouvées au centième près).

5) Calculer l’abscisse du point maximum (qu’on appellera D) atteint par la parabole.

6) On appelle θ (thêta) l’angle initial de projection du volant en plastique, qui correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et celui de la tangente à la parabole au point d’abscisse 0. θ est l’angle recherché dans la première question posée dans l’introduction du problème.

a) Calculer f'(0).
b) En déduire la valeur de l’angle θ arrondie au degré près. Conclure.

7) a) Tracer en rouge la courbe représentative de f sur le graphique en Annexe 2.
Remarque : pour être précis, le tracé nécessite les valeurs exactes (et non arrondies) de a et b.

b) Répondre graphiquement à la seconde question posée dans l’introduction du problème en donnant les coordonnées du point d’intersection des deux courbes entre le point de départ et celui d’arrivée.

Annexe 1⁽¹⁾