Niveaux : Première (Spécialité Maths)
Chapitres : Polynômes du second degré
Inédit, publié le 23/06/2024
Avec seulement quelques milliers de licenciés en France, le water-polo, ce sport olympique similaire à une forme de handball dans l’eau, est relativement peu connu. Très physique, il demande beaucoup de précision tant dans les tirs que dans les passes. Nous allons justement étudier celles-ci, qui vont d’un poloïste (c’est ainsi qu’on appelle un joueur de water-polo !) à un autre sous la forme de paraboles… à condition qu’elles ne soient pas interceptées par l’adversaire !
Pour cela, on modélise un poloïste (le passeur) qui cherche à faire une passe réussie à son coéquipier (le receveur). On se place dans un repère orthonormé (O, i, j), où l’axe des abscisses est assimilé au niveau de l’eau ; l’unité du repère est le mètre. Le ballon part de la main du passeur située au point A(0 ; 0,6), pour atteindre la main du receveur située en B(6 ; 0,3). Cependant un adversaire, situé à une abscisse variable xc entre les deux joueurs se faisant la passe, va tenter de sauter pour attraper la ballon en vol. On admet que xc appartient à l’intervalle I = [0,5 ; 5,5], et que l’adversaire sera en mesure d’attraper le ballon au-dessus de sa tête seulement si la trajectoire passe à une hauteur strictement inférieure à 1 mètre au-dessus du niveau de l’eau.
Si on associe à la trajectoire de la passe une fonction f, polynomiale du second degré de la forme ax2 + bx + c, on admet ainsi qu’une trajectoire réussie, ni trop haute ni trop basse, sera donc telle qu’elle passe par les points A, B et C(xc, 1). La situation est représentée sur le graphique en Annexe, dans le cas où xc = 4 (on se rappellera cependant que dans l’ensemble du problème, la valeur de xc n’est pas fixée).
1) Calculer la valeur de c.
2) a) Déterminer les valeurs de a et b pour xc = 4.
b) En déduire les coordonnées du sommet de la parabole dans ce cas.
3) On appelle g la fonction qui à xc associe l’ordonnée du sommet de la parabole.
Expliquer pourquoi, dans le contexte de l’exercice, on doit avoir g(xc) ≥ 1.
4) On cherche alors à savoir s’il existe une abscisse xc0 telle que le sommet de la parabole soit précisément en xc0 et ait pour hauteur 1 mètre (on aurait alors f(xc0) = g(xc0)= 1).
a) Quels sont les signes de a et b ?
b) En utilisant les coordonnées du sommet de la parabole, déterminer une relation entre a et b.
c) Établir alors une équation en b, que l’on résoudra.
d) En déduire la valeur de a puis celle de xc0 (arrondir au centième près).
5) a) Quand l’adversaire se rapproche soit du lanceur ou du receveur, que se passe-t-il logiquement sur la forme de la parabole ? Quelle en est la conséquence sur l’ordonnée du sommet de la parabole ?
b) Sans calculs et en réfléchissant sur le contexte de l’exercice, établir alors intuitivement le tableau de variations de g sur l’intervalle I (on ne calculera pas les valeurs de g aux bornes de l’intervalle)(*).
Annexe
(*) Remarque : nous invitons ceux qui voudraient aller plus en profondeur à déterminer l’expression de la fonction g puis à en étudier les variations de manière rigoureuse (via la dérivation). L’expression de g est cependant plutôt compliquée à manipuler !
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